Тео́рия поле́й кла́ссов изучает абелевы расширения (конечные расширения Галуа с коммутативной группой Галуа) некоторых типов полей .

В рамках алгебраической теории чисел ТПК изучает абелевы расширения поля рациональных чисел , а в рамках теории p-адических чисел — абелевы расширения поля p-адических чисел .

Задачей теории полей классов является для заданного поля описать все абелевы расширения , причём это описание теория даёт в терминах основного поля . Кроме того, теория полей классов изучает арифметику абелевых расширений заданного поля, а именно законы разложения простых идеалов этого поля в любом заданном расширение и законы взаимности .

Теория полей классов глобальных полей называется глобальной теорией полей классов, локальных полей — локальной теорией полей классов .

Примечания