Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости ); « идиоматическая » область в комплексном анализе .

Определение

Единичный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством

${\displaystyle |z|<1}$ или (что то же самое), ${\displaystyle z{\bar {z}}<1}$ .

В действительных координатах ${\displaystyle x+iy=z}$ неравенство выглядит как:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1}$ .

Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости ). Границей единичного круга является единичная окружность .

Единичный круг обычно обозначается как ${\displaystyle \Delta }$ или ${\displaystyle D}$ .

Автоморфизмы единичного круга

С точки зрения конформных отображений , автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли , состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:

${\displaystyle f(z)=e^{i\varphi }{\frac {z+b}{1+{\bar {b}}z}},\ |b|<1}$

Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна ( ${\displaystyle \varphi }$ ) — поворотами .

С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов ( движений ) нет.

Модель Пуанкаре

Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре :

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {dz\,d{\bar {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}=4{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}.}$

Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского .

Круг или полуплоскость?

С точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости). Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость . И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана , разрезанной большой окружностью .

Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости ).

Другие значения

В принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 7 июня 2019 )