Норми́рование — отображение элементов поля ${\displaystyle F}$ или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\mapsto \|x\|}$ , обладающее следующими свойствами:

1) ${\displaystyle \|x\|\geqslant 0}$ и ${\displaystyle \|x\|=0}$ только при ${\displaystyle x=0}$

2) ${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|}$

3) ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)}$ , то нормирование называется неархимедовым .

Значение ${\displaystyle \|x\|}$ называется нормой элемента ${\displaystyle x}$ . Если упорядоченное поле ${\displaystyle P}$ является полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ и ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ называются эквивалентными , если ${\displaystyle \|x\|_{1}<1}$ равносильно ${\displaystyle \|x\|_{2}<1}$ .

Примеры нормирований

• Нормирование, при котором ${\displaystyle \|0\|=0}$ , ${\displaystyle \|x\|=1}$ для остальных ${\displaystyle x}$ . Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и модуль в поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ являются нормированием.
• Пусть ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — поле рациональных чисел, а ${\displaystyle p}$ — некоторое простое число . Любое рациональное число можно представить в виде дроби ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$ , где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не кратны ${\displaystyle p}$ . Можно определить следующее нормирование ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$ . Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием .

Согласно , любая нетривиальная норма на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентна либо абсолютной величине ${\displaystyle |x|}$ , либо р-адическому нормированию.

Свойства нормы

• ${\displaystyle |1|=|-\!1|=1}$
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство ${\displaystyle {\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |x-y|}$ (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа )
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число ${\displaystyle A}$ , такое, что для любой суммы единичных элементов поля ${\displaystyle F}$ :

3b) ${\displaystyle \|1+1+...+1\|\leqslant A}$

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из поля ${\displaystyle F}$ имеем:

${\displaystyle |(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{n-i}\,y^{i}+\ldots +y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}}$

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при ${\displaystyle n\to \infty }$ , получаем условие 3a). ^{[ источник не указан 3787 дней ]} Обратное утверждение очевидно. ^{[ источник не указан 3787 дней ]}

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля ${\displaystyle F}$ как норму разности ${\displaystyle \|x-y\|}$ , мы превращаем его в метрическое пространство , в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство . Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в ${\displaystyle F}$ .

Пополнение

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать , что любое нормированное поле ${\displaystyle F}$ изоморфно вкладывается в полное нормированное поле ${\displaystyle F^{*}}$ , то есть существует изоморфизм ${\displaystyle i:F\rightarrow F^{*}}$ . Норма в ${\displaystyle F^{*}}$ продолжает норму в ${\displaystyle F}$ , то есть для каждого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle F}$ : ${\displaystyle \|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|}$ , причём ${\displaystyle F}$ плотно в ${\displaystyle F^{*}}$ относительно этой нормы. Любое такое поле ${\displaystyle F^{*}}$ определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы ( изометрии ) и тождественного на ${\displaystyle F}$ ; оно называется пополнением поля ${\displaystyle F}$ .

Пример. Пополнением поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ с p-адической метрикой является поле p-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ .

Экспоненциальное нормирование

Пусть ${\displaystyle v}$ — отображение из мультипликативной группы поля ${\displaystyle K^{*}}$ в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу , такое, что

1) ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$

2) ${\displaystyle v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))}$

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: ${\displaystyle v(0)=\infty }$ . Групповая операция на ${\displaystyle \infty }$ определена следующим образом: ${\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty }$ для любого ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle \infty }$ упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием . Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд и Ленг. Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием . Область значений отображения ${\displaystyle v}$ называют группой нормирования , а множество тех элементов ${\displaystyle x}$ поля ${\displaystyle K}$ , для которых ${\displaystyle v(x)\geqslant 0}$ — кольцом нормирования (обозначение — ${\displaystyle R_{v}}$ ), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования .

Примечания

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М. : Мир, 1972.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М. : ИЛ, 1963. — Т. 2.
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1967.