Класс сопряжённости — множество элементов группы ${\displaystyle G}$ , образованное из элементов, сопряжённых заданному ${\displaystyle g\in G}$ , то есть — всех элементов вида ${\displaystyle hgh^{-1}}$ , где ${\displaystyle h}$ — произвольный элемент группы ${\displaystyle G}$ .

Класс сопряжённости элемента ${\displaystyle g\in G}$ может обозначаться ${\displaystyle [g]}$ , ${\displaystyle g^{G}}$ или ${\displaystyle \mathrm {Cl} (g)}$ .

Определение

Элементы ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ группы ${\displaystyle G}$ называются сопряжёнными , если существует элемент ${\displaystyle h\in G}$ , для которого ${\displaystyle hg_{1}h^{-1}=g_{2}}$ . Сопряжённость является отношением эквивалентности , а потому разбивает ${\displaystyle G}$ на классы эквивалентности , это, в частности, означает, что каждый элемент группы принадлежит в точности одному классу сопряжённости, и классы ${\displaystyle [g_{1}]}$ и ${\displaystyle [g_{2}]}$ совпадают тогда и только тогда , когда ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ сопряжены, и не пересекаются в противном случае.

Замечания

• Классы сопряжённости могут быть также определены как орбиты действия группы на себе сопряжениями, заданными формулой ${\displaystyle (g,m)=gmg^{-1}}$ .

Примеры

• Симметрическая группа ${\displaystyle S_{3}}$ , состоящая из всех шести перестановок трёх элементов, имеет три класса сопряжённости:
  • порядок не меняется ( ${\displaystyle abc\to abc}$ , «1A»),
  • перестановка двух элементов ( ${\displaystyle abc\to acb}$ , ${\displaystyle abc\to bac}$ , ${\displaystyle abc\to cba}$ , «3A»),
  • циклическая перестановка всех трёх элементов ( ${\displaystyle abc\to bca}$ , ${\displaystyle abc\to cab}$ , «2A»).

• Симметрическая группа ${\displaystyle S_{4}}$ , состоящая из всех 24 перестановок четырёх элементов, имеет пять классов сопряжённости:
  • порядок не меняется (1 перестановка): ${\displaystyle \{\{1,2,3,4\}\}}$ , «1A» или «(1) ₄ »;
  • перестановка двух элементов (6 перестановок): ${\displaystyle \{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\},\{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}}$ , «6A» или «(2)»;
  • циклическая перестановка трёх элементов (8 перестановок): ${\displaystyle \{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\},\{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}}$ , «8A» или «(3)»;
  • циклическая перестановка всех четырёх элементов (6 перестановок): ${\displaystyle \{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\},\{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}}$ , «6B» или «(4)»;
  • перестановка попарная (3 перестановки): ${\displaystyle \{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}}$ , «3A» или «(2)(2)».

• В общем случае число классов сопряжённости в симметрической группе ${\displaystyle S_{n}}$ равно количеству разбиений числа ${\displaystyle n}$ , так как каждый класс сопряжённости соответствует в точности одному разбиению перестановки ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ на .

Свойства

• Нейтральный элемент всегда образует свой собственный класс ${\displaystyle [e]=\{e\}}$
• Если ${\displaystyle G}$ — абелева , то ${\displaystyle \forall {g,h\in G}\ ghg^{-1}=h}$ , таким образом ${\displaystyle [g]=\{g\}}$ для всех элементов группы.
• Если два элемента ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ группы ${\displaystyle G}$ принадлежат одному и тому же классу сопряжённости, то они имеют одинаковый порядок .
  • Более общо: любое теоретико-групповое утверждение ${\displaystyle \pi (g)}$ об элементе ${\displaystyle g\in G}$ эквивалентно утверждению для элемента ${\displaystyle h\in [g]}$ , поскольку сопряжение ${\displaystyle x\to xgx^{-1}}$ является автоморфизмом группы ${\displaystyle G}$ .
• Элемент ${\displaystyle g\in G}$ лежит в центре ${\displaystyle Z(G)}$ тогда и только тогда, когда его класс сопряжённости состоит из единственного элемента: ${\displaystyle [g]=\{g\}}$ .
  • Более общо: индекс подгруппы ${\displaystyle Z_{G}(g)}$ ( централизатора заданного элемента ${\displaystyle g}$ ) равен числу элементов в классе сопряжённости ${\displaystyle [g]}$ (по ).
• Если ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ сопряжены, то сопряжены и их степени ${\displaystyle g_{1}^{k}}$ и ${\displaystyle g_{2}^{k}}$ .

• Для любого элемента группы ${\displaystyle g\in G}$ элементы в классе сопряжённости ${\displaystyle [g]}$ взаимно-однозначно соответствуют классам смежности централизатора ${\displaystyle Z_{G}(g)}$ , действительно, если ${\displaystyle h_{1}\in [h_{2}]}$ , то ${\displaystyle h_{1}=h_{2}z}$ для некоторого ${\displaystyle z\in Z_{G}(g)}$ , что приводит к тому же самому сопряжённому элементу: ${\displaystyle h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^{-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}}$ . В частности:
  • Если ${\displaystyle G}$ — конечная группа , то число элементов в классе сопряжённости ${\displaystyle [g]}$ является индексом централизатора ${\displaystyle [G:Z_{G}(g)]}$ .
  • Порядок каждого класса сопряжённости является делителем порядка группы.
• Порядок группы является суммой индексов централизаторов по выбранному представителю ${\displaystyle g_{i}}$ из каждого класса сопряжённости: ${\displaystyle |G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]}$ . С учётом того, что централизатор группы ${\displaystyle Z(G)}$ образует класс сопряжённости из единственного элемента (самого себя), это соотношение, называемое уравнением классов сопряжённости , записывается следующим образом:

  ${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]}$ ,

где сумма берётся по всем представителям каждого класса сопряжённости, которые не принадлежат центру.

• Например, пусть задана конечная ${\displaystyle p}$ -группа ${\displaystyle G}$ (то есть группа с порядком ${\displaystyle p^{n}}$ , где ${\displaystyle p}$ — простое число и ${\displaystyle n>0}$ ). Поскольку порядок любого класса сопряжённости должен делить порядок группы, всякий класс сопряжённости ${\displaystyle H_{i}}$ также имеет порядок, равный некоторой степени ${\displaystyle p^{k_{i}}}$ ( ${\displaystyle 0<k_{i}<n}$ ), и тогда из уравнения классов сопряжённости следует, что:

${\displaystyle |G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{k_{i}}}$ ,

отсюда, в свою очередь, следует, что число ${\displaystyle p}$ должно делить ${\displaystyle |Z(G)|}$ , так что ${\displaystyle |Z(G)|>1}$ для всех конечных ${\displaystyle p}$ -групп, то есть уравнение классов сопряжённости позволяет установить, что любая конечная ${\displaystyle p}$ -группа обладает нетривиальным центром.

• Классы сопряжённости в фундаментальной группе линейно связного топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности при свободной гомотопии.

Вариации и обобщения

Для произвольного подмножества (не обязательно подгруппы) ${\displaystyle S\subseteq G}$ подмножество ${\displaystyle T\subseteq G}$ называется сопряжённым к ${\displaystyle S}$ , если существует некоторый элемент ${\displaystyle g\in G}$ , такой, что ${\displaystyle T=gSg^{-1}}$ . В этом случае класс сопряжённости ${\displaystyle [S]}$ — множество всех подмножеств ${\displaystyle T\subseteq G}$ , таких, что каждое ${\displaystyle T}$ является сопряжённым ${\displaystyle S}$ .

Широко применяется теорема, согласно которой для любого заданного подмножества ${\displaystyle S}$ группы ${\displaystyle G}$ индекс множества его нормализатора ${\displaystyle N(S)}$ равен порядку её класса сопряжённости ${\displaystyle [S]}$ :

${\displaystyle |[S]|=[G:N(S)]}$ .

Это следует из того, что для ${\displaystyle g,h\in G}$ имеет место: ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle g^{-1}h\in N(S)}$ , то есть ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ содержится в одном и том же классе смежности нормализатора ${\displaystyle N(S)}$ .

Подгруппы можно разделить на классы сопряжённости так, что две подгруппы принадлежат одному классу в том и только в том случае, когда они сопряжены. Сопряжённые подгруппы изоморфны , но изоморфные подгруппы не обязательно должны быть сопряженными. Например, абелева группа может содержать две различные изоморфные подгруппы, но они никогда не будут сопряжёнными.

См. также

• Лемма Бёрнсайда
• Топологическая сопряжённость

Примечания

Литература

• Pierre Antoine Grillet. Abstract algebra. — 2. — Springer, 2007. — Т. 242. — (Graduate texts in mathematics). — ISBN 978-0-387-71567-4 .