В евклидовой геометрии спрямление или полное усечение — это процесс усечения многогранника путём пометки середины всех его рёбер и отсечения всех вершин вплоть до этих точек . Получающийся многогранник будет ограничен фасетами (гранями размерности n-1, в трёхмерном пространстве это многоугольники) вершинных фигур и усечёнными фасетами исходного многогранника. Операции спрямления даётся однобуквенный символ r . Так, например, r {4,3} — спрямлённый куб, т.е. кубооктаэдр.

Конвей для этой операции использует обозначение ambo . В теории графов эта операция создаёт срединный граф .

Пример спрямления как финальной стадии усечения ребра

Полное усечение является финальной стадией процесса усечения. На рисунке показаны четыре стадии непрерывного процесса усечения от правильного куба до полностью усечённого состояния:

Более высокие степени полного усечения

Более высокие степени полного усечения могут быть осуществлены на правильных многогранниках более высоких размерностей. Наивысшая степень полного усечения создаёт двойственный многогранник . Спрямление усекает рёбра до точек. Двойное спрямление усекает (двумерные) грани до точек. В более высоких размерностях тройное спрямление усекает ячейки (трёхмерные грани) до точек, и так далее.

Пример двойного спрямления как финальной стадии усечения граней

Последовательность на рисунке показывает двойное усечение куба как конечную стадию процесса от куба к двойственному октаэдру, при котором исходная грань усекается до точки:

Для многоугольников

Двойственный многоугольник — это то же самое, что и полностью усечённая его форма. Новые вершины располагаются в серединах сторон исходного многоугольника.

Для многогранников и плоских мозаик

Любой правильный многогранник и его двойственный имеют один и тот же полностью усечённый многогранник. (Это не так для многогранников в пространствах размерности 4 и более.)

Полностью усечённый многогранник может быть получен как пересечение исходного правильного многогранника с подходящим образом масштабированной концентрической версии двойственного. По этой причине их имена строятся как комбинации имени исходного многогранника и его двойственного:

1. Полностью усечённый тетраэдр , двойственным которому является тетраэдр, носит имя тетратетраэдр , более известный как октаэдр .
2. Полностью усечённый октаэдр , двойственным которому является куб , носит имя кубооктаэдр .
3. Полностью усечённый икосаэдр , двойственным которому является додекаэдр , носит имя икосододекаэдр .
4. Полностью усечённый квадратный паркет — это квадратный паркет .
5. Полностью усечённый треугольный паркет , двойственным которому является шестиугольный паркет , носит имя тришестиугольный паркет .

Примеры

Семейство	Родитель	Полное усечение	Двойственный
[p,q]
[3,3]	Тетраэдр	Октаэдр	Тетраэдр
[4,3]	Куб	Кубооктаэдр	Октаэдр
[5,3]	Додекаэдр	Икосододекаэдр	Икосаэдр
[6,3]	Шестиугольная мозаика	Тришестиугольная мозаика	Треугольная мозаика
[7,3]	Семиугольная мозаика третьего порядка
[4,4]	Квадратная мозаика	Квадратная мозаика	Квадратная мозаика
[5,4]

Для неправильных многогранников

Если многогранник не является правильным, середины рёбер, окружающих вершину, могут не лежать в одной плоскости. Однако некая форма полного усечения остаётся возможной и в этом случае — любой многогранник имеет полиэдральный граф , как (многогранника), и из этого графа можно образовать срединный граф путём помещения вершин в середины рёбер исходного графа и соединения двух новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным рёбрам вдоль общей грани. Получившийся срединный граф остаётся полиэдральным, так что по теореме Штайница его можно представить в виде многогранника.

Эквивалент нотации Конвея для полного усечения — это ambo , обозначаемый буквой a . Применяя дважды aa , (спрямление после спрямления) — это конвеевская операция расширения , e , которая является той же операцией, что и операция скашивания Джонсона, t _0,2 для правильных многогранников и мозаик.

Для 4-мерных многогранников и 3-мерных мозаик

Любой имеет форму полного усечения, как .

Правильный 4-мерный многогранник {p,q,r} имеет ячейки {p,q}. Его полное усечение даст два типа ячеек — полностью усечённые {p,q} многогранники, оставшиеся от исходных ячеек, и {q,r} многогранники как новые ячейки, образованные на местах отсечённых вершин.

Однако усечение {p,q,r} не совпадает с усечением {r,q,p}. Дальнейшее усечение, называемое , симметрично относительно 4-мерного многогранника и его двойственного. Смотрите .

Примеры

Семейство	Родитель	Полное усечение	Двойное полное усечение (Усечение двойственного)	Тройное полное усечение (Двойственный)
[p,q,r]
[3,3,3]	Пятиячейник	Полностью усечённый пятиячейник	Полностью усечённый пятиячейник	Пятиячейник
[4,3,3]	тессеракт		Полностью усечённый шестнадцатиячейник ( двадцатичетырёхячейник )	Шестнадцатиячейник
[3,4,3]	Двадцатичетырёхячейник			Двадцатичетырёхячейник
[5,3,3]	Стодвадцатиячейник			Шестисотячейник
[4,3,4]	Кубические соты			Кубические соты
[5,3,4]

Степени спрямления

Первое полное усечение усекает рёбра до точек. Если многогранник является правильным , эта форма представляется расширенным t ₁ {p,q,...} или r {p,q,...}.

Второе полное усечение, или двойное спрямление , усекает грани до точек. Если многогранник правильный, двойное полное усечение обозначается t ₂ {p,q,...} или 2 r {p,q,...}. Для 3-мерных многогранников двойное полное усечение даёт двойственный многогранник .

Более высокие степени полного усечения можно построить для многогранников в пространствах размерности 4 и выше. В общем случае, уровень полного усечения n отсекает n-мерные грани до точек.

Если многогранник в n-мерном пространстве полностью усечён до степени (n-1), его фасеты (грани размерности n-1) усекаются до точки и он становится двойственным исходному.

Обозначения и фасеты

Существует три различных эквивалентных обозначения для каждой степени полного усечения. Таблицы ниже показывают имена по размерности и два типа фасет для каждого.

Правильные многоугольники

Фасеты — это рёбра, представленные как {2}.

название {p}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		t 0 {p}	{p}	{2}
Полностью усечённый		t 1 {p}	{p}		{2}

Правильные 3-мерные однородные многогранники и мозаики

Фасеты являются правильными многоугольниками.

Название {p,q}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		t 0 {p,q}	{p,q}	{p}
Полностью усечённый		t 1 {p,q}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q}	{p}	{q}
Дважды усечённый		t 2 {p,q}	{q,p}		{q}

Правильные однородные 4-мерные многогранники и соты

Фасеты — правильные или полностью усечённые многогранники.

название {p,q,r}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет -2
Родитель		t 0 {p,q,r}	{p,q,r}	{p,q}
Rectified		t 1 {p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q}	{q,r}
Дважды полностью усечённый (Полностью усечённый двойственный)		t 2 {p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix}}}$ = r{q,r}
Трихды полностью усечённый (Двойственный)		t 3 {p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Правильные многогранники в 5-мерном пространстве и 4-мерные соты

Фасеты являются правильными или полностью усечёнными четырёхмерными многогранниками.

Название {p,q,r,s}	Диаграмма Коксетера	t-запись символа Шлефли	Расширенный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет -2
Родитель		t 0 {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Полностью усечённый		t 1 {p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Дважды полностью усечённый (Дважды полностью усечённый двойственный)		t 2 {p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix}}}$ = 2r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix}}}$ = r{q,r,s}
Трижды полностью усечённый (Полностью усечённый двойственный)		t 3 {p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{s,r,q}
Четырежды полностью усечённый (двойственный)		t 4 {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

См. также

• Двойственный многогранник
• Квазиправильный многогранник
• Список правильных многогранников
• Усечение (геометрия)
• Нотация Конвея для многогранников

Примечания

Литература

Ссылки

• на Glossary for Hyperspace.

Операции над многогранниками

Основа	Усечение			Двойствен- ность	Растяжение
t 0 {p, q} {p, q}	t{p, q}	t 1 {p,q} r{p, q}	2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	rr{p, q}	tr{p, q}	h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}