Interested Article - Однородная система координат
- 2021-12-09
- 1
Однородные координаты ― система координат , используемая в проективной геометрии , подобно тому, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии .
Однородные координаты обладают тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число. Из-за этого количество координат, необходимое для представления точек, всегда на одну больше, чем размерность пространства , в котором эти координаты используются. Например, для представления точки на прямой в одномерном пространстве необходимы 2 координаты и 3 координаты для представления точки на плоскости в двумерном пространстве. В однородных координатах возможно представить даже точки, находящиеся в бесконечности.
Введены Плюккером в качестве аналитического подхода к принципу .
Проективная геометрия
Проективная плоскость обычно определяется как множество прямых в , проходящих через начало координат . Любая такая прямая однозначно определяется точкой, не совпадающей с началом координат . Пусть данная прямая проходит через точку с координатами , тогда однородные координаты соответствующей точки на проективной плоскости — это тройка чисел , определённая с точностью до пропорциональности и такая, что все три координаты одновременно не могут быть равны нулю . Например,
От однородных координат к аффинным можно перейти следующим образом: в трёхмерном пространстве можно провести плоскость , не проходящую через начало координат ; тогда проходящая через начало координат прямая либо параллельна этой плоскости (в этом случае точка называется «бесконечно удалённой»), либо пересекает её в единственной точке, тогда ей можно сопоставить координаты этой точки на плоскости. Например, в пространстве с координатами проведём плоскость . Тогда точке с однородными координатами , если , соответствует точка на плоскости с координатами Обратно, точка с аффинными координатами в однородных координатах запишется как
Прямые на проективной плоскости — это плоскости в трёхмерном пространстве, проходящие через начало координат. Такую плоскость можно задать уравнением . Нетрудно заметить, что при умножении на одно и то же число плоскость, задаваемая уравнением, не изменится. Это значит, что каждой плоскости соответствуют однородные координаты . Точке, записанной в однородных координатах, можно сопоставить прямую, которая в однородных координатах записывается так же. Таким образом, прямые на проективной плоскости образуют «вторую проективную плоскость», в этом и заключается принцип проективной двойственности .
Вычислительная геометрия
В вычислительной геометрии однородные координаты применяются в вычислениях операций на евклидовой плоскости. Плоскость Евклида временно дополняется до проективной, к декартовым координатам точек добавляется однородная координата 1, затем производятся операции, затем в самом конце производится деление на однородную координату, чтобы получить декартовы координаты, а бесконечно удалённые точки обрабатываются особо. Такой подход даёт возможность быстро и безошибочно закодировать операции с объектами на плоскости. Прямая, проходящая через две точки, и точка на пересечении двух прямых, — обе операции кодируются, используя векторное произведение . Также нередко расширение евклидовой плоскости до проективной позволяет избежать рассмотрения частных случаев в промежуточных построениях, например, пересекающиеся или параллельные прямые, и провести анализ только в самом конце.
Однородные целочисленные координаты обобщают рациональные числа . Третья однородная координата служит общим знаменателем первым двум координатам, таким образом все вычисления могут производятся без погрешностей (в длинной арифметике ).
Примеры
Источники
- Прасолов В. В., Тихомиров В. Н. от 13 июля 2018 на Wayback Machine . — М.: МЦНМО, 2007. ISBN 978-5-94057-267-1 ( от 27 августа 2018 на Wayback Machine )
Для улучшения этой статьи
желательно
:
|
- 2021-12-09
- 1