Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис ).

Точечный базис (иногда используется термин «базис барицентрических координат» ) в ${\displaystyle n}$ -мерном аффинном пространстве ${\displaystyle A}$ представляет собой систему из ${\displaystyle (n+1)}$ -й точки ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$ , которые предполагаются аффинно независимыми (т. е. не лежат в ${\displaystyle (n-1)}$ -мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение

Пусть ${\displaystyle P}$ есть произвольная точка в ${\displaystyle A}$ . Каждая точка ${\displaystyle M\in A}$ может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

${\displaystyle M=P+\alpha _{0}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{0}+\alpha _{1}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{n};}$

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1.}$

Числа ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ и называются барицентрическими координатами точки ${\displaystyle M}$ . Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора ${\displaystyle P}$ .

Записанное выше равенство в символике может быть переписано так:

${\displaystyle M=\alpha _{0}P_{0}+\alpha _{1}P_{1}+\ldots +\alpha _{n}P_{n}.}$

Свойства

• Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
• Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$ неотрицательны и их сумма равна единице.
• Обращение в нуль барицентрической координаты ${\displaystyle \alpha _{i}}$ равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине ${\displaystyle P_{i}}$ . Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
• В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})}$ . В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
• Для точки ${\displaystyle X}$ , лежащей внутри треугольника ${\displaystyle ABC}$ , в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников ${\displaystyle (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})}$ .
• Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами . А именно, если ${\displaystyle (\alpha :\beta :\gamma)}$ — барицентрические координаты точки ${\displaystyle X}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$ , а ${\displaystyle a,b,c}$ — длины его сторон, то

  ${\displaystyle (x:y:z)=\left({\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}\right)}$

её трилинейные координаты . Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

• Точка ${\displaystyle M}$ является центром масс грузиков с массами ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ , расположенных в точках ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$ .

История

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.

Примечания

Литература

• Балк М. Б., Болтянский В. Г. . — М. : Наука, 1987. — 160 с. — ( Библиотечка «Квант» . Вып. 61).
• Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Наука, 1986. — 304 с.
• Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.

См. также

• Трилинейные координаты
• Аффинные преобразования
• Аффинное пространство