Уравне́ние седьмо́й сте́пени — алгебраическое уравнение , имеющее максимальную степень 7. В общем виде может быть записано следующим образом:

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,}$ где a ≠ 0 . Если a = 0 , то f ( x ) — уравнение шестой степени ( b ≠ 0 ), уравнение пятой степени ( b = 0, c ≠ 0 ) и так далее.

Уравнение может быть получено из функции, установив f ( x ) = 0 . Коэффициенты a , b , c , d , e , f , g могут быть целыми числами , рациональными числами , действительными числами , комплексными числами или, в более общем случае, членами любого алгебраического поля .

Вследствие нечётности степени функции седьмой степени при построении графика выглядят аналогично функциям третьей и пятой степеней , за исключением того, что они могут обладать дополнительными локальными экстремумами (до трёх максимумов и трёх минимумов). Производной от функции седьмой степени является функция шестой степени.

Разрешимые уравнения седьмой степени

Отдельные уравнения седьмой степени могут быть решены путём разложения на радикалы . Французский математик Эварист Галуа разработал методы определения разрешимости уравнения с помощью радикалов, которые положили начало теории Галуа . Чтобы привести пример неприводимого, но разрешимого в обобщённом случае уравнения седьмой степени, можно обобщить разрешимое уравнение де Муавра пятой степени, чтобы получить функцию следующего вида:

${\displaystyle x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,}$ , где ${\displaystyle y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,}$ .

Это означает, что уравнение седьмой степени получается путём применения u и v : x = u + v , uv + α = 0 , u ⁷ + v ⁷ + β = 0 .

Из этого следует, что 7 корней уравнения седьмой степени имеют вид ${\displaystyle x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}}$ , где ω _k — любой из 7 корней уравнения. Группа Галуа в этом случае является максимальной разрешимой группой 42-го порядка.

Другое разрешимый класс уравнений седьмой степени имеет вид:

${\displaystyle x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,}$

члены которого отображаются в базе данных числовых полей Клунера ( англ. Kluner's Database of Number Fields ). Его дискриминант имеет вид:

${\displaystyle \Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,}$

Группа Галуа данного класса уравнений — двугранная группа 14-го порядка.

Общее уравнение седьмой степени может быть решено с помощью чередующихся или симметричных групп A ₇ или S ₇ . Для решения таких уравнений требуются гиперэллиптические функции и связанные с ними тета-функции 3-го рода. Однако математики XIX-го века , изучавшие решения алгебраических уравнений, намеренно не уделяли внимания этим уравнениям, поскольку решения уравнений шестой степени уже были на пределе их вычислительных возможностей без применения ЭВМ .

Уравнения седьмой степени — это уравнения низшего порядка, для которых не очевидно, что их решения могут быть получены путем наложения непрерывных функций двух переменных. Тринадцатая проблема Гильберта была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных. Владимир Игоревич Арнольд совместно с А. Н. Колмогоровым доказал в 1957 году, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением ) :

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\psi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Функций ${\displaystyle \Phi _{q}}$ и ${\displaystyle \psi _{q,p}}$ , не считая нулевых, требуется не более ${\displaystyle (n+1)(2n+1)}$ штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трёх — не более 28. Однако сам Арнольд считал, что подлинная сущность тринадцатой проблемы Гильберта заключается в том, могут ли быть получены решения уравнений седьмой степени путём наложения алгебраических функций двух переменных (проблема в данной формулировке по состоянию на 2023 год всё ещё остаётся открытой).

Группы Галуа

• Имеющие корни уравнения седьмой степени имеют группу Галуа , которая является либо циклической группой 7-го порядка, либо двугранной группой 14-го порядка, либо метациклической группой 21-го или 42-го порядка.
• Группа Галуа L (3, 2) (168-го порядка) образована перестановками 7 вершинных меток, которые сохраняют 7 «прямых» в плоскости Фано . Решения уравнений седьмой степени с данной группой Галуа L (3, 2) требуют анализа эллиптических , а не гиперэллиптических функций.
• В противном случае группа Галуа септика является либо чередующейся группой 2520-го порядка, либо симметричной группой 5040-го порядка.

Уравнение седьмой степени для квадрата площади вписанного пятиугольника или шестиугольника

Квадрат площади вписанного в окружность пятиугольника является корнем уравнения седьмой степени, коэффициенты которого являются симметричными функциями сторон пятиугольника. То же самое верно и для квадрата площади вписанного в окружность шестиугольника .

Примечания

1. ↑ R. Bruce King (16 January 2009), , Birkhaüser, p. 143 and 144, ISBN 9780817648497 , из оригинала 6 августа 2023 , Дата обращения: 14 ноября 2023
2. Vasco Brattka (13 September 2007), , Kolmogorov's heritage in mathematics , Springer, ISBN 9783540363514 , из оригинала 6 августа 2023 , Дата обращения: 14 ноября 2023
3. V.I. Arnold, , p. 4, из оригинала 24 сентября 2015 , Дата обращения: 14 ноября 2023
4. Weisstein, Eric W. "Cyclic Hexagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. от 8 июля 2014 на Wayback Machine