Задача о трёх домиках и трёх колодцах
— классическая
математическая головоломка
: проложить от каждого из трёх колодцев к каждому из трёх домиков
непересекающиеся
тропинки. Формулировка задачи приписывается
Эйлеру
. В современной литературе иногда встречается в следующей форме: возможно ли к каждому из трёх домиков проложить без пересечений на плоскости трубы (рукава) от трёх источников — электроснабжения, газоснабжения и водоснабжения («
вода, газ, электричество
»).
Одно из доказательств невозможности найти плоское вложение
использует разбор случаев, привлекая
теорему Жордана
, рассматриваются различные возможности расположения вершин по отношению к циклам длины 4 и показывается, что они несовместимы с требованием планарности
. Также можно показать, что для любого
двудольного
планарного графа
без мостов
с
вершинами и
рёбрами
, если скомбинировать
формулу Эйлера
(здесь
— число граней планарного графа) с наблюдением, что число граней не превышает половины числа рёбер (поскольку любая грань имеет не менее четырёх рёбер и каждое ребро принадлежит ровно двум граням). При этом в графе
:
и
, что нарушает неравенство, так что этот граф не может быть планарным.
Неразрешимость задачи непосредственно следует из каждой из следующих важных теорем о планарных графах:
теоремы Куратовского
, согласно которой планарные графы — это в точности те графы, которые не содержат подграфов, гомеоморфных
и
полному графу
, и
теоремы Вагнера
о том, что планарные графы — это в точности те графы, которые не содержат ни
, ни
в качестве
минора
, содержат в себе этот результат.
Граф
является
ламановым
, что означает, что он образует минимальную
, когда он вкладывается в плоскость (с пересечениями). Это пример минимального ламанова графа, в то время как другой непланарный граф
не является минимально жёстким.
Вариации и обобщения
является
тороидальным
, что означает возможность вложить его в
тор
. Эквивалентным утверждением является равенство
рода
графа
единице, откуда следует, что он не может быть вложен в поверхность с
родом
меньше единицы. Поверхность с родом равным единице эквивалентна
тору
.
В частности головоломка про домики и колодцы имеет решение на поверхности кружки (такие кружки даже можно увидеть в продаже).
Проблема Заранкевича
, также известная как
задача о кирпичном заводе
Пала Турана
, задаёт более общий вопрос — найти формулу
минимального числа скрещиваний
в рисунке
полного двудольного графа
, зависящую от чисел
и
двух долей графа. Граф
можно нарисовать всего с одним скрещиванием, но не с нулём, так что его число скрещиваний равно единице. Связана задача с тем, что во время войны Туран работал на кирпичном заводе, и от каждой печи к каждому складу была проведена узкоколейка. Вагонетки трудно толкать по скрещениям, отсюда и задача: как сделать, чтобы пересечений было поменьше.
Примечания
W. G. Brown.
On graphs that do not contain a Thomsen graph // Canadian Mathematical Bulletin. — 1966. —
Т. 9
. —
С. 281–285
. —
doi
:
.
Результат является следствием более общего факта, установленного Куратовским —
теоремы Куратовского
; в русскоязычной литературе утверждается, что доказательство этого факта впервые найдено Понтрягиным в 1927 году, но не было своевременно опубликовано.
Richard J. Trudeau.
Introduction to Graph Theory. — Corrected, enlarged republication.. — New York: Dover Pub., 1993. — С. 68–70. —
ISBN 978-0-486-67870-2
.
S. R. Campbell, M. N. Ellingham, Gordon F. Royle.
A characterisation of well-covered cubic graphs // Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. — 1993. —
Т. 13
. —
С. 193–212
.
Ссылки
Weisstein, Eric W.
(англ.)
на сайте Wolfram
MathWorld
.