Interested Article - Правильные многомерные многогранники

Правильный n -мерный многогранник — многогранники n -мерного евклидова пространства , которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами .

История

Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли .

Определение

Флагом n -мерного многогранника $P$ $P$ называется набор его граней $F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{n-1})$ $F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{{n-1}})$ , где $F_{i}$ $F_{i}$ есть $i$ $i$ -мерная грань многогранника Р, причем $F_{i}\subseteq F_{n-1}$ $F_{i}\subseteq F_{{n-1}}$ для $i=1,2,\dots ,n-1$ $i=1,2,\dots ,n-1$ .

Правильный n -мерный многогранник — это выпуклый n -мерный многогранник $P$ $P$ , у которого для любых двух его флагов $F$ $F$ и $F'$ $F'$ найдётся движение $P$ $P$ , переводящее $F$ $F$ в $F'$ $F'$ .

Классификация

Размерность 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название	Символ Шлефли	Ячейка	Число ячеек	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Пятиячейник	{3,3,3}	правильный тетраэдр	5	10	10	5
Тессеракт	{4,3,3}	куб	8	24	32	16
Шестнадцатиячейник	{3,3,4}	правильный тетраэдр	16	32	24	8
Двадцатичетырёхячейник	{3,4,3}	октаэдр	24	96	96	24
Стодвадцатиячейник	{5,3,3}	додекаэдр	120	720	1200	600
Шестисотячейник	{3,3,5}	правильный тетраэдр	600	1200	720	120

Размерности 5 и выше

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника ( политопа ):

Название	Символ Шлефли
n -мерный правильный симплекс	{3;3;...;3;3}
n -мерный гиперкуб	{4;3;...;3;3}
n -мерный гипероктаэдр	{3;3;...;3;4}

Геометрические свойства

Углы

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}$ $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{{N-3}},p_{{N-2}},p_{{N-1}}\}$ , определяется по формуле :

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-1}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-2}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-3}}}}{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-1}}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-2}}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-3}}}}}{{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}}

где $\beta$ $\beta$ — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы:

r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },

r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },

где $r_{N-1}$ $r_{{N-1}}$ — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{N-1}A_{N-1}r_{N},

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{{N-1}}A_{{N-1}}r_{N},

где $V_{N-1}$ $V_{{N-1}}$ — объём (N-1)-мерной грани, $A_{N-1}$ $A_{{N-1}}$ — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения

В размерности n = 4

В размерности n ≥ 5

Гиперкубические соты

См. также

Примечания

Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.
Sommerville D.M.Y. . — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
Coxeter H.S.M. . — London, 1948. — С. 134. — 321 с. 5 мая 2016 года.
Розенфельд Б.А. . — Наука, 1966. — С. 193.

Ссылки

(неопр.) (2003). Дата обращения: 30 января 2011. Архивировано из 4 мая 2012 года.

Е. Ю. Смирнов. . — М. : МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2 .

Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29 . — С. 147–259 .

[1] Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.

[2] Sommerville D.M.Y. . — London, 1929. — С. 189. — 196 с.

[3] Coxeter H.S.M. . — London, 1948. — С. 134. — 321 с. 5 мая 2016 года.

[4] Розенфельд Б.А. . — Наука, 1966. — С. 193.

Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2—10
	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / / E₈ / F₄ / G₂
Правильный многоугольник	Правильный треугольник	Квадрат	Правильный p-угольник	Правильный шестиугольник	Правильный пятиугольник
Однородный многогранник	Правильный тетраэдр	Правильный октаэдр • Куб	Полукуб		Правильный додекаэдр • Правильный икосаэдр
	Пятиячейник	16-ячейник • Тессеракт	Полутессеракт	24-ячейник	120-ячейник • 600-ячейник
	Правильный 5-симплекс	5-ортоплекс • 5-гиперкуб	5-полугиперкуб
	Правильный 6-симплекс	6-ортоплекс • 6-гиперкуб		•
	Правильный 7-симплекс	• 7-гиперкуб		• •
	Правильный 8-симплекс	• 8-гиперкуб		• •
	Правильный 9-симплекс	• 9-гиперкуб
	Правильный 10-симплекс	• 10-гиперкуб
Однородный n - политоп	Правильный n - симплекс	n - ортоплекс • n - гиперкуб	n - полугиперкуб	• •	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства политопов • • Список правильных политопов и их соединений