Когерентные пучки — класс пучков , тесно связанных с геометрическими свойствами пространства-носителя. В определении когерентного пучка используется пучок колец , который хранит эту геометрическую информацию.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию , и поэтому замкнуты относительно таких операций, как взятие ядер , коядер и образов. Квазикогерентные пучки — это обобщение когерентных пучков, включающее в себя векторные расслоения бесконечного ранга.

Когомологии когерентных пучков — это мощная техника, в частности используемая для изучения сечений когерентных пучков.

Определения

Квазикогерентный пучок на окольцованном пространстве ( X , O _X ) — это пучок O _X - модулей F , который локально представим, то есть у каждой точки X имеется открытая окрестность U , для которой существует точная последовательность

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

для некоторых множеств I и J (возможно, бесконечных).

Когерентный пучок на окольцованном пространстве ( X , O _X ) — это квазикогерентный пучок F , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1. пучок F конечного типа над O _X , то есть у любой точки X имеется открытая окрестность U , такая, что существует сюръективный морфизм O n
   X | _U → F | _U для некоторого натурального n ;
2. для любого открытого множества U ⊂ X , любого натурального n и любого морфизма O _X -модулей φ: O n
   X | _U → F | _U , ядро φ конечного типа.

Морфизмы между (квази)когерентными пучками те же самые, что и морфизмы O _X -модулей.

Свойства

На произвольном окольцованном пространстве квазикогерентные пучки не образуют абелевой категории. Однако квазикогерентные пучки над любой схемой образуют абелеву категорию, и они крайне полезны в этом контексте.

Когерентные пучки на произвольном окольцованном пространстве образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории O _X -модулей.

Подмодуль когерентного пучка когерентен, если он конечного типа. Когерентный пучок всегда является конечно представимым O _X -модулем, в том смысле, что у любой точки X имеется открытая окрестность U , такая, что ограничение F | _U пучка F на U изоморфно коядру морфизма O _X ⁿ | _U → O _X ^m | _U для натуральных n и m . Если O _X когерентен, то, обратно, любой конечно представимый O _X -модуль когерентен.

Пучок колец O _X называется когерентным, если он когерентен как модуль над собой. В частности, утверждает, что пучок голоморфных функций на X когерентен. Аналогично, на X , структурный пучок O _X когерентен.

Локальное поведение когерентных пучков

Важным свойством когерентных пучков является то, что свойства когерентного пучка в точке контролируют его поведение в окрестности этой точки. Например, лемма Накаямы (в геометрических терминах) утверждает, что если F — когерентный пучок на схеме X , то его слой, тензорно умноженный на поле вычетов F _p ⊗ _{O X , p} k ( p ) в точке p (векторное пространство над полем вычетов k ( p )) нулевой, если и только если F нулевой на некоторой открытой окрестности точки p . Связанный с этим факт — то, что размерность слоёв когерентного пучка полунепрерывна сверху . Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом подмножестве, тогда как на замкнутом подмножестве ранг может подскакивать.

В том же духе: когерентный пучок F на схеме X является векторным расслоением если и только если его слой F _p является свободным модулем над локальным кольцом O _{X , p} для любой точки p в X .

На общей схеме невозможно определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением, по его слоям, тензорно умноженным на поля вычетов. Однако на локально нётеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен.

Когомологии когерентных пучков

Теория когомологий когерентных пучков является одним из основных технических средств в алгебраической геометрии. Хотя она появилась только в 1950-х годах, многие более ранние результаты в алгебраической геометрии формулируются более ясно на языке когомологий пучков, применённом к когерентным пучкам. Грубо говоря, когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для построения функций с заданными свойствами; сечения линейных расслоений или более общих пучков можно рассматривать как обобщённые функции. В комплексной аналитической геометрии когомологии когерентных пучков также играют важную роль.

Теоремы о занулении в аффинном случае

Комплексный анализ был революционизирован благодаря , доказанным в 1953 году. Эти результаты говорят, что если E — когерентный аналитический пучок на X , то E порождается своими глобальными сечениями, и H ⁱ ( X , E ) = 0 для всех i > 0. (Комплексное пространство X является пространством Штейна, если и только если оно изоморфно замкнутому аналитическому подпространству C ⁿ для некоторого n .) Эти результаты обобщают большой корпус более ранней работы по построению комплексных аналитических функций с заданными особенностями или другими свойствами.

В 1955 году Серр ввёл когерентные пучки в алгебраическую геометрию (первоначально над алгебраически замкнутым полем , но это ограничение было снято Гротендиком ). Аналоги теорем Картана верны в большой общности: если E — квазикогерентный пучок на аффинной схеме X , то E порождается своими глобальными сечениями, и H ⁱ ( X , E ) = 0 для i > 0. Это связано с тем фактом, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме X эквивалентна категории O ( X )- модулей : эквивалентность переводит пучок E в O ( X )-модуль H ⁰ ( X , E ).

Когомологии Чеха и когомологии проективного пространства

Как следствие зануления когомологий аффинных схем, для отделимой схемы X , аффинного открытого покрытия { U _i } схемы X и квазикогерентного пучка E на X , группы когомологий H *( X , E ) изоморфны группам когомологий Чеха относительно открытого покрытия { U _i }. Другими словами, для вычисления когомологий X с коэффициентами в E достаточно знать сечения E на всех конечных пересечениях открытых аффинных подмножеств U _i .

Используя когомологии Чеха, можно вычислить когомологии проективного пространства с коэффициентами в любом линейном расслоении. А именно, для поля k , натурального числа n и целого числа j , когомологии проективного пространства P ⁿ над k с коэффициентами в линейном расслоении O ( j ) задаются следующим образом:

${\displaystyle H^{i}(\mathbf {P} ^{n},O(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0}\geq 0,\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&{\text{if }}i=0\\0&{\text{if }}i\neq 0{\text{ and }}i\neq n\\\bigoplus _{a_{0}<0,\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&{\text{if }}i=n.\end{cases}}}$

В частности, это вычисление показывает, что когомологии проективного пространства над k с коэффициентами в любом линейном расслоении конечномерны как векторные пространства над k .

Зануление этих групп когомологий в размерностях выше n является частным случаем теоремы Гротендика о занулении : для любого пучка абелевых групп E на нётеровом топологическом пространстве X размерности n < ∞ имеем H ⁱ ( X , E ) = 0 для всех i > n . Этот результат особенно полезен в случае, когда X является нётеровой схемой (например, алгебраическим многообразием над полем), а E — когерентным пучком.

Конечномерность когомологий

Для X над полем k и когерентного пучка E на X , группы когомологий H ⁱ ( X , E ) конечномерны как векторные пространства над k . В частном случае, когда X проективно над k , это доказывается сведением к случаю линейных расслоений на проективном пространстве, рассмотренному выше. Общий случай собственной схемы над полем доказывается сведением к проективному случаю при помощи .

Конечномерность когомологий также имеет место для когерентных аналитических пучков на компактном комплексном пространстве. Картан и Серр доказали конечномерность в этой аналитической ситуации, используя теорему Шварца о компактных операторах в пространстве Фреше .

Конечномерность когомологий позволяет получить много интересных инвариантов проективных многообразий. Наример, если X — неособая проективная кривая над алгебраически замнутым полем k , то род X определяется как размерность векторного пространства H ¹ ( X , O _X ). Если k — поле комплексных чисел, он совпадает с родом пространства комплексных точек X ( C ) в классической (евклидовой) топологии. (В этом случае X ( C ) = X ^an — замкнутая ориентированная поверхность .)

Двойственность Серра

Двойственность Серра является аналогом двойственности Пуанкаре для когомологий когерентных пучков. Для собственной схемы X размерности n над полем k существует естественное отображение следа H ⁿ ( X , K _X ) → k . Двойственность Серра для векторного расслоения E на X утверждает, что спаривание

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}$

является совершенным спариванием для любого целого числа i . В частности, векторные пространства H ⁱ ( X , E ) и H ^{n − i} ( X , K _X ⊗ E *) имеют одинаковую размерность. (Серр доказал также двойственность Серра для голоморфных векторных расслоений на компактном комплексном многообразии.) Теория двойственности Гротендика включает обобщения на произвольный когерентный пучок и произвольный собственный морфизм схем, но утверждения становятся менее элементарными.

Например, для неособой проективной кривой X над алгебраически замкнутым полем k , двойственность Серра утверждает, что размерность пространства 1-форм на X H ⁰ ( X ,Ω ¹ ) = H ⁰ ( X , K _X ) совпадает с родом X (размерностью H ¹ ( X , O )).

Теоремы GAGA

Теоремы GAGA связывают комплексные алгебраические многообразия с соответствующими аналитическими пространствами. Для схемы X конечного типа над C , существует функтор из когерентных алгебраических пучков на X в когерентные аналитические пучки на соответствующем аналитическом пространстве X ^an . Основная теорема GAGA утверждает, что если X собственно над C , то этот функтор является эквивалентностью категорий. Более того, для любого когерентного алгебраического пучка E на собственной схеме X над C , естественной отображение

${\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E)}$

является изоморфизмом для всех i . (Первая группа определяется при помощи топологии Зарисского, а вторая — при помощи классической (евклидовой) топологии.) В частности, из эквивалентности между аналитическими и алгебраическими когерентными пучками на проективном пространстве следует теорема Чжоу о том, что любое замкнутое аналитическое подпространство CP ⁿ алгебраично.

Теоремы о занулении

Тероема Серра о занулении утверждает, что для любого ^* L на собственной схеме X над нётеровым кольцом и любого когерентного пучка F на X , существует целое число m ₀ , такое, что для всех m ≥ m ₀ , пучок F ⊗ L ^{⊗ m} порождается глобальными сечениями и не имеет высших когомологий.

Хотя теорема Серра о занулении полезна, неизвестность числа m ₀ может быть проблемой. Теорема Кодайра о занулении является важным явным результатом. А именно, если X — гладкое проективное многообразие над полем характеристики 0, L — обильное линейное расслоение на X и K _X — , то

${\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}$

для всех j > 0. Заметим, что теорема Серра гарантирует то же зануление для высоких степеней L . Теорема Кодайра о занулении и её обобщения играют фундаментальную роль для классификации алгебраических многообразий и в программе минимальных моделей . Теорема Кодайра о занулении не имеет места над полями положительной характеристики.

Примечания

Литература

• Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М. : Мир, 1981.
• David Eisenbud. . — Springer-Verlag, 1995. — ISBN 978-0-387-94268-1 .
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean . «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 4 , 1960.