Interested Article - Двойственный граф

Двойственный граф $G'$ к планарному графу $G$ — это граф, в котором вершины соответствуют граням графа $G$ ; две вершины соединены ребром если и только если соответствующие им грани графа $G$ имеют общее ребро. Например, двойственны друг к другу графы куба и октаэдра .

Термин двойственный используется ввиду того, что это свойство симметрично — если H двойственен G , то G двойственен H (при условии, что G связен ). То же самое понятие можно использовать для вложения графов в многообразия . Понятие двойственности графов отличается от рёберно-вершинной двойственности ( рёберный граф ) графа и эти два понятия не следует путать.

Свойства

Два красных графа являются двойственными для одного и того же синего графа, но они не изоморфны .

Двойственный граф является псевдографом : в нём могут быть петли и кратные рёбра.
Двойственный планарному граф является плоским мультиграфом .
Если G является связным графом и если G ′ — двойственен G , то G двойственен G ′.
Поскольку двойственный граф зависит от способа укладки , к одному и тому же планарному графу могут существовать несколько двойственных (неизоморфных). На рисунке красные графы не изоморфны, поскольку верхний имеет степень 6 (внешняя грань). Однако если граф 3-связен , как показал Уитни , укладка единственна, а потому и двойственный граф единственен .

Ввиду двойственности, для любого результата, использующего число граней и вершин, можно обменять эти величины.

Самодвойственным называют граф, который изоморфен своему двойственному графу. Например, самодвойственен граф тетраэдра .

Алгебраическая двойственность

Пусть G — связный граф. Алгебраически двойственным графу G называется граф G ^★ такой, что G и G ^★ имеют одно и то же множество рёбер, любой цикл в G является разрезом G ^★ и любой разрез G является циклом в G ^★ . Любой планарный граф имеет алгебраически двойственный граф, в общем случае не единственный (двойственный граф определяется укладкой). Обратное тоже верно — как показал Хасслер в своём критерии планарности , связный граф планарен в том и только в том случае, если он имеет алгебраически двойственный граф.

Тот же факт можно выразить в терминах теории матроидов : если M является графа G , то M является графовый матроид в том и только случае, когда G планарен. Если G планарен, двойственный матроид является графовым матроидом двойственного G графа.

Слабая двойственность

Слабодвойственный планарному графу — это подграф двойственного графа, в котором вершины соответствуют ограниченным граням исходного графа. Планарный граф является внешнепланарным в том и только в том случае, когда двойственный является лесом , и планарный граф является графом Халина в том и только в том случае, когда его слабодвойственный является двусвязным и внешнепланарным. Для любого планарного графа G , пусть G ⁺ — планарный мультиграф, образованный добавлением одной вершины v в неограниченную грань графа G и соединением v со всеми вершинами внешней грани (несколько раз, если вершина появляется несколько раз на границе грани). Теперь G является слабодвойственным (планарного) двойственного G ⁺ графа .

Примечания

Adrian Bondy, U.S.R. Murty. глава «Planar Graphs», Theorem 10.28 // Graph Theory. — Springer, 2008. — Т. 244. — С. 267. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 9781846289699 . — doi : .
Hassler Whitney. Non-separable and planar graphs // Transactions of the American Mathematical Society. — 1932. — Т. 34 , вып. 2 . — С. 339–362 . — doi : .
Herbert J. Fleischner, D. P. Geller, Frank Harary. Outerplanar graphs and weak duals // Journal of the Indian Mathematical Society. — 1974. — Т. 38 . — С. 215–219 .
Maciej M. Sysło, Andrzej Proskurowski. Graph Theory: Proceedings of a Conference held in Lagów, Poland, February 10–13, 1981. — Springer-Verlag, 1983. — Т. 1018. — С. 248–256. — (Lecture Notes in Mathematics). — doi : .