В теории динамических систем , разделе математики , отображение Пуанкаре (также отображение последования , отображение первого возвращения ) — это проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя (или на другую площадку) вдоль траекторий (фазовых кривых) системы.

Рассмотрим некоторый участок поверхности в фазовом пространстве ( сечение Пуанкаре ), трансверсальный к векторному полю системы (то есть не касающийся поля; часто говорят просто трансверсаль ). Из точки ${\displaystyle x}$ на трансверсали выпустим траекторию системы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через ${\displaystyle y}$ . Отображение Пуанкаре точке ${\displaystyle x}$ ставит в соответствие точку первого возвращения ${\displaystyle y}$ . Если траектория, выпущенная из ${\displaystyle x}$ , никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено.

Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую.

Итерации отображения Пуанкаре с некоторой трансверсали на себя образуют динамическую систему с дискретным временем на фазовом пространстве меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в тесной связи со свойствами исходной системы с непрерывным временем (например, неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы). Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений — с другой. Отображение Пуанкаре является важным инструментом исследования динамических систем с непрерывным временем.

См. также

Отражающая функция

Ссылки

• Каток А. Б. , . Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО , 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1 .