Interested Article - Однородный звёздчатый многогранник
- 2021-12-09
- 1
Однородный звёздчатый многогранник — самопересекающийся однородный многогранник . Эти многогранники называются также невыпуклыми многогранниками , подчёркивая самопересечение. Каждый многогранник может содержать грани в виде звёздчатых многоугольников или иметь звёздчатые вершинные фигуры , но может содержать и то, и другое.
Полный набор 57 непризматических однородных звёздчатых многогранников включает 4 правильных, называемых телами Кеплера — Пуансо , 5 квазиправильных , и 48 полуправильных.
Существует также два бесконечных множества однородных звёздчатых призм и антипризм .
Так же, как (невырожденные) звёздчатые многоугольники (которые имеют большую 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися частями, звёздчатые многогранники, которые не проходят через центр, имеют , большую 1, и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися частями. Существует 48 таких непризматических однородных звёздчатых многогранников. Оставшиеся 9 непризматических однородных звёздчатых многогранников имеют грани, проходящие через центр, являются и не соответствуют сферическим многогранникам, поскольку центр не может быть однозначно спроецирован на сферу.
Невыпуклые формы конструируются из треугольников Шварца .
Все треугольники, перечисленные ниже, сгруппированы по их группам симметрии , а внутри сгруппированы по расположению вершин.
Правильные многогранники помечены их символами Шлефли . Другие, неправильные однородные многогранники снабжены их вершинной конфигурацией или их номером однородного многогранника (Uniform polyhedron index, U(1-80)).
Примечание: Для невыпуклых форм ниже приводится дополнительное описание Неоднородный , когда выпуклая оболочка имеет ту же топологию, но имеет неправильные грани. Например, неоднородное скашивание (удаление рёбер) может дать прямоугольники на местах удалённых рёбер, а не квадраты .
Диэдральная симметрия
См. Призматический однородный многогранник .
Тетраэдральная симметрия
Существует один невыпуклый вид, тетрагемигексаэдр , который имеет тетраэдральную симметрию (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (3 3 2)).
Существует два треугольника Шварца , из которых образуются уникальные невыпуклые однородные многогранники — прямоугольный треугольник (3/2 3 2) и один треугольник общего вида (3/2 3 3). Треугольник (3/2 3 3) генерирует , который приведён ниже в разделе .
( Выпуклая оболочка ) |
Невыпуклые виды | |
---|---|---|
Тетраэдр |
||
Спрямлённый тетраэдр Октаэдр |
(4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2 |
|
Усечённый тетраэдр |
||
Скошенный тетраэдр ( Кубооктаэдр ) |
||
Всеусечённый тетраэдр ( Усечённый октаэдр ) |
||
Плосконосый тетраэдр ( Икосаэдр ) |
Октаэдральная симметрия
Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых с (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (4 3 2)).
Существует четыре треугольника Шварца , которые образуют невыпуклые формы, два прямоугольных, (3/2 4 2) и (4/3 3 2), и два общего вида, (4/3 4 3) и (3/2 4 4).
( Выпуклая оболочка ) |
Невыпуклые виды | ||
---|---|---|---|
Куб |
|||
Октаэдр |
|||
Кубооктаэдр |
4/3 4 | 3 |
3/2 3 | 3 |
|
Усечённый куб |
4.8/3.4/3.8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) | |
3 4 | 4/3 |
3/2 4 | 2 |
Усечённый октаэдр |
|||
Ромбокубооктаэдр |
2 4 (3/2 4/2) | |
3/2 4 | 4 |
2 3 | 4/3 |
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр |
2 3 4/3 | |
||
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр |
3 4 4/3 | |
||
Плосконосый куб |
Икосаэдральная симметрия
Имеется 8 выпуклых форми и 46 невыпуклых с икосаэдральной симметрией (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включать фигуру Скиллинга). Некоторые невыпуклые плосконосые виды имеют зеркальную вершинную симметрию.
( Выпуклая оболочка ) |
Невыпуклые виды | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Икосаэдр |
{5,5/2} |
{5/2,5} |
{3,5/2} |
|||||
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3 |
2 5/2 | 5 |
5/2 3 | 5/3 |
5/3 3 | 2 |
2 5/3 (3/2 5/4) | |
||||
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3 |
5/2 5 | 2 |
5/3 5 | 3 |
2 3 (5/4 5/2) | |
|||||
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3 |
| 5/2 3 3 |
|||||||
Икосододекаэдр 2 | 3 5 |
3/2 3 | 5 |
5/4 5 | 5 |
U54 2 | 3 5/2 |
5/3 5/2 | 5/3 |
3 3 | 5/3 |
U36 2 | 5 5/2 |
5/3 5/2 | 3 |
5/4 5 | 3 |
Усечённый додекаэдр 2 3 | 5 |
|
|
|
|||||
Неоднородный усечённый додекаэдр |
|
|||||||
Додекаэдр |
{5/2,3} |
|
|
|
||||
Ромбоикосододекаэдр |
|
|
|
|||||
Додекаэдр со снятыми кромками |
|
|||||||
Неоднородный Ромбоикосододекаэдр |
|
|
|
|
||||
Неоднородный ромбоикосододекаэдр |
|
|
(см. ниже) |
|||||
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр |
|
|||||||
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр |
|
|||||||
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр |
|
|||||||
Неоднородный Плосконосый додекаэдр |
|
|
|
|
|
U74 |
Тело Скиллинга
Ещё одним невыпуклым многогранником является , известный также как тело Скиллинга , которое вершинно однородно, но имеет разделяемые общие для граней пары рёбер, так что четыре грани имеют одно общее ребро. Иногда его причисляют к однородным многогранникам, но не всегда. Тело имеет симметрию I h .
Вырожденные случаи
Коксетер с помощью построения Витхоффа определил некоторое число вырожденных звёздчатых многогранников, которые имеют перекрывающиеся рёбра или вершины. Эти вырожденные формы включают:
См. также
- Звёздчатый многоугольник
- Список однородных многогранников
- Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца
Примечания
Литература
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246 , вып. 916 . — С. 401–450 . — ISSN . — doi : . — .
- М. Веннинджер . Модели многогранников. — «Мир», 1974.
- M. Brückner. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. — Leipzig, Germany: Teubner, 1900.
- С.П. Сопов. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // . — 1970. — Вып. 8 . — С. 139–156 .
- J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278 . — С. 111–135 . — ISSN . — doi : . — .
- Har'El, Z. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. , , ,
- R. E. Mäder. Uniform Polyhedra // Mathematica. — 1993. — Вып. 3 . — С. 48-57 . от 7 сентября 2015 на Wayback Machine
- Peter W. Messer. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals // Discrete & Computational Geometry. — 2002. — Вып. 27 . — С. 353-375 .
- Richard Klitzing, 3D, от 23 октября 2015 на Wayback Machine
Ссылки
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- 2021-12-09
- 1