Interested Article - Соединение многогранников

Соединение многогранников — это фигура, составленная из некоторых многогранников, имеющих общий центр. Соединения являются трёхмерными аналогами многоугольных соединений , таких как гексаграмма .

Внешние вершины соединения можно соединить, образовав выпуклый многогранник , который называется выпуклой оболочкой . Соединение является огранкой выпуклой оболочки.

Внутри соединения образуется меньший выпуклый многогранник как общая часть всех членов соединения. Этот многогранник называется ядром для звёздчатых многогранников .

Правильные соединения

Правильные многогранные соединения можно определить как соединения, которые, как и в случае правильных многогранников, являются , и . Существует пять правильных соединений многогранников.

Соединение	Выпуклая оболочка	Ядро	Симметрия	Подгруппа для одной составляющей	Двойственный
Два тетраэдра ( звёздчатый октаэдр )	Куб	Октаэдр	*432 [4,3] O _h	*332 [3,3] T _d	Самодвойственен
Пять тетраэдров	Додекаэдр	Икосаэдр	532 [5,3] ⁺ I	332 [3,3] ⁺ T	энантиоморфный хиральный двойник
	Додекаэдр	Икосаэдр	*532 [5,3] I _h	332 [3,3] T	Самодвойственен
	Додекаэдр	Ромботриаконтаэдр	*532 [5,3] I _h	3*2 [3,3] T _h	Пять октаэдров
Пять октаэдров	Икосододекаэдр	Икосаэдр	*532 [5,3] I _h	3*2 [3,3] T _h	Пять кубов

Наиболее известно соединение двух тетраэдров . Кеплер назвал это соединение по-латински stella octangula (звёздчатый октаэдр). Вершины двух тетраэдров задают куб , а их пересечение является октаэдром , грани которого лежат на тех же плоскостях, что и грани составляющих тетраэдров. Таким образом, соединение является приведением к звезде октаэдра и, фактически, его единственным возможным приведением.

Звёздчатый октаэдр можно также рассматривать как двойственно-правильное соединение.

Соединение пяти тетраэдров имеет две зеркальные версии, которые вместе дают соединение десяти тетраэдров. Все соединения тетраэдров самодвойственны, а соединение пяти кубов двойственно соединению пяти октаэдров.

Двойственные соединения

Двойственное соединение — это соединение многогранника и двойственного ему, расположенных взаимно противоположно относительно общей вписанной или полувписанной сферы, так что ребро одного многогранника пересекает двойственное ребро двойственного многогранника. Существует пять таких соединений правильных многогранников.

Компоненты	Выпуклая оболочка	Ядро	Симметрия
Два тетраэдра ( звёздчатый октаэдр )	Куб	Октаэдр	*432 [4,3] O _h
	Ромбододекаэдр	Кубооктаэдр	*432 [4,3] O _h
	Ромботриаконтаэдр	Икосододекаэдр	*532 [5,3] I _h
	Додекаэдр	Икосододекаэдр	*532 [5,3] I _h
	Икосаэдр	Додекаэдр	*532 [5,3] I _h

Тетраэдр самодвойственен, так что двойственное соединение тетраэдра с двойственным ему является также звёздчатым октаэдром.

Двойственные соединения куб-октаэдр и додекаэдр-икосаэдр являются приведением к звезде кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно.

Соединение малого звёздчатого додекаэдра и большого додекаэдра выглядит внешне как тот же самый малый звёздчатый додекаэдр, поскольку большой додекаэдр содержится полностью внутри него. По этой причине изображение малого звёздчатого додекаэдра, приведённое выше, показано в виде рёберного каркаса.

Однородные соединения

В 1976 Джон Скиллинг (John Skilling) опубликовал статью Однородные соединения однородных многогранников , в которой перечислил 75 соединений (включая 6 бесконечных множеств призматических соединений, №20-25), полученных из однородных многогранников с помощью вращений. (Каждая вершина является .) Список включает пять соединений правильных многогранников из списка выше.

Эти 75 однородных соединений приведены в таблице ниже. В большинстве соединений разные цвета соответствуют разным составляющим. Некоторые хиральные пары раскрашены согласно зеркальной симметрии.

1—19: Смесь (4,5,6,9,17 являются пятью правильными соединениями )

20—25: Симметрия призм, вложенная в ,

26—45: Симметрия призм, вложенная в или икосаэдральную симметрию,

46—67: Тетраэдральная симметрия, вложенная в октаэдральную или икосаэдральную симметрию,

68—75: энантиоморфные пары

Другие соединения


Соединение четырёх кубов (слева) не является ни правильным, ни двойственным, ни однородным соединением. Двойственное ему соединение четырёх октаэдров (справа) — однородное.

Соединение четырёх кубов

Два многогранника, являющиеся соединениями, но их элементы строго заключены в (соединение икосаэдра и большого додекаэдра ) и (соединение и большого икосаэдра ). Если принять обобщённое определение однородного многогранника , они будут однородными.

Секция энтианоморфных пар в списке Скиллинга не содержит соединения двух , поскольку грани- пентаграммы совпадают. Удаление совпадающих граней приведёт к .

Четырёхмерные соединения

Ортогональные проекции
75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

В четырёхмерном пространстве существует большое число правильных соединений правильных многогранников. Коксетер перечислил некоторые из них в своей книге .

Самодвойственные:

Соединение	Симметрия
120 пятиячейников	[5,3,3], порядок 14400
5 двадцатичетырёхячейников	[5,3,3], порядок 14400

Двойственные пары:

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия
3 шестнадцатиячейника	3 тессеракта	[3,4,3], порядок 1152
15 шестнадцатиячейников	15 тессерактов	[5,3,3], порядок 14400
75 шестнадцатиячейников	75 тессерактов	[5,3,3], порядок 14400
300 шестнадцатиячейников	300 тессерактов	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
600 шестнадцатиячейников	600 тессерактов	[5,3,3], порядок 14400
25 двадцатичетырёхячейников	25 двадцатичетырёхячейников	[5,3,3], порядок 14400

Однородные соединения с выпуклыми четырёхмерными многогранниками:

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия
2 шестнадцатиячейника	2 тессеракта	[4,3,3], порядок 384
100 двадцатичетырёхячейников	100 двадцатичетырёхячейников	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
200 двадцатичетырёхячейников	200 двадцатичетырёхячейников	[5,3,3], порядок 14400
5 шестисотячейников	5 стодвадцатиячейников	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
10 шестисотячейников	10 стодвадцатиячейников	[5,3,3], порядок 14400

Двойственные позиции:

Соединение	Симметрия
2 пятиячейника {{3,3,3}}	[[3,3,3]], порядок 240
2 двадцатичетырёхячейника {{3,4,3}}	[[3,4,3]], порядок 2304

Соединение правильных звёздных четырёхмерных многогранников

Самодвойственные звёздные соединения:

Соединение	Симметрия
5	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
10	[5,3,3], порядок 14400
5	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
10	[5,3,3], порядок 14400

Двойственные пары соединений звёзд:

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия
5 {3,5,5/2}	5 {5/2,5,3}	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3}	[5,3,3], порядок 14400
5 {5,5/2,3}	5 {3,5/2,5}	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
10 {5,5/2,3}	10 {3,5/2,5}	[5,3,3], порядок 14400
5 {5/2,3,5}	5 {5,3,5/2}	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
10 {5/2,3,5}	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], порядок 14400

Однородные соединения звёзд :

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия
5	5	[5,3,3] ⁺ , порядок 7200
10	10	[5,3,3], порядок 14400

Теория групп

В терминах теории групп , если G является группой симметрии соединения многогранников и группа действует транзитивно на многогранник (так что любой многогранник может быть в любой другой, как в однородных соединениях), тогда, если H является стабилизатором одного выбранного многогранника, многогранники могут быть определены по орбите G / H .

Соединение мозаик

Существует восемнадцать двупараметрических семейств правильных соединений мозаик на евклидовой плоскости. В гиперболическом пространстве известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных мозаик, но список не является завершённым.

Евклидовы и гиперболические семейства 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p целое) аналогичны сферическим звёздчатым октаэдрам , 2 {3,3}.

Некоторые примеры евклидовых и гиперболических правильных соединений
Самодвойственные	Двойственные		Самодвойственные
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2

	3 {6,3}	3 {3,6}	3

Известным семейством правильных еквлидовых соединений сот в пространствах размерности пять и выше является бесконечное семейство , имеющих общие вершины и грани. Такое соединение может иметь произвольное число ячеек в соединении.

Существуют также двойственно-правильные соединения мозаик. Простым примером служит E ² -соединение шестиугольной мозаики и её двойственной треугольной . Евклидово соединение двух гиперболических сот правильно и двойственно правильно.

Примечания

, с. 447–457.
, с. 305, Таблица VII.
Richard Klitzing, Uniform compound от 4 марта 2016 на Wayback Machine
Richard Klitzing, Uniform compound от 4 марта 2016 на Wayback Machine
Richard Klitzing, Uniform compound от 2 апреля 2016 на Wayback Machine

Литература

John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79 . — doi : . .
P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids . — ISBN 0-521-55432-2 .
Magnus Wenninger. . — Cambridge: Cambridge University Press, 1983. — P. –53. .
Michael G. Harman. Polyhedral Compounds. — unpublished manuscript, 1974. .
Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. — Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. — 1876. — Т. 11. — С. 5–97.
H.S.M Coxeter . Chapter 8: Truncation // . — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8 .

Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7 . стр. 87 Five regular compounds