Interested Article - Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости

Примеры периодических мозаик
имеет один вид правильной грани.	имеет один тип вершины , но два и более видов граней.
имеет k вида вершин и два или более видов правильных граней.	Мозаики, не , могут иметь различные размеры правильных граней

Замощения евклидовой плоскости выпуклыми правильными многоугольниками широко использовался ещё с античных времён. Первое систематическое изложение было сделано Кеплером в его книге Harmonices Mundi ( Гармония мира , на латинском , 1619).

Правильные мозаики

Согласно Грюнбауму и , говорят, что мозаика правильная , если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно смежных вершин , рёбер и плиток мозаики. Это означает, что для любой пары флагов существует операция симметрии, переводящая первый флаг во второй. Это эквивалентно мозаике соединённых ребро-к-ребру конгруэнтных правильных многоугольников. Должно быть шесть правильных треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника в каждой вершине, откуда получаем три правильных замощения .

Правильные мозаики (3)
p6m, *632		p4m, *442

3 ⁶ (t=1, e=1)	6 ³ (t=1, e=1)	4 ⁴ (t=1, e=1)

Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики

Вершинная транзитивность означает, что для любой пары вершин существует симметрия (параллельный перенос также включается в симметрии), отображающая первую вершину во вторую .

Если требование транзитивности флагов ослаблено до транзитивности вершин, но условие соединения плиток ребро-к-ребру сохраняется, существует восемь дополнительных мозаик, которые известны как архимедовы , однородные , или полуправильные . Заметим, что существует две зеркальные (энантиоморфные или хиральные ) формы 3 ⁴ .6 (плосконосых шестиугольных) мозаик и обе показаны в таблице ниже. Все остальные правильные и полуправильные мозаики ахиральны.

Однородные мозаики (8)
p6m, *632
(t=2, e=2)	(t=3, e=2)	(t=3, e=3)	(3.6) ² (t=2, e=1)
p4m, *442	p4, 442	cmm, 2*22	p6, 632
4.8 ² (t=2, e=2)	3 ² .4.3.4 (t=2, e=2)	(t=2, e=3)	Плосконосая шестиугольная мозаика (t=3, e=3)

Грюнбаум и Шепард эти мозаики называют архимедовыми , как указание на локальность свойства расположения плиток вокруг вершин, для отличия от однородных , для которых вершинная транзитивность является глобальным свойством. Хотя на плоскости этими двумя свойствами обладают все мозаики, в других пространствах существуют архимедовы мозаики, не являющиеся однородными.

k -однородные мозаики

3-однородная мозаика с номером #57 из 61
Как изотоксальная, жёлтые треугольники, красные квадраты	Как 4-изоэдральная, 3 цвета для треугольников

Такие периодические мозаики можно классифицировать числом орбит вершин, рёбер и плиток. Если существует $k$ орбит вершин, мозаика считается $k$ -однородной или $k$ -изогональной (равноугольной). Если существует $t$ орбит плиток, мозаика считается $t$ -изоэдральной. Если существует $e$ орбит рёбер, мозаика считается $e$ -изотоксальной (рёберно-транзитивный).

k -однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами можно далее идентифицировать их симметрией группы обоев .

1-однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных с 2 или более видами правильных многоугольных граней. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаик, 151 4-однородных мозаик, 332 5-однородных мозаик и 673 6-однородных мозаик. Все мозаики можно сгруппировать числом m различных фигур, которые называются m -архимедовыми мозаиками

Число k-однородных m-архимедовых мозаик
	m
k		1	2	3	4	5	6	7	8	9	Всего
	1	11	0	0	0	0	0	0	0	0	11
		0	20	0	0	0	0	0	0	0	20
		0	22	39	0	0	0	0	0	0	61
		0	33	85	33	0	0	0	0	0	151
		0	74	149	94	15	0	0	0	0	332
		0	100	284	187	92	10	0	0	0	673
	7	?	?	?	?	?	?	7	0	0	?
	8	?	?	?	?	?	?	20	0	0	?
	9	?	?	?	?	?	?	?	8	0	?
	10	?	?	?	?	?	?	?	27	0	?
	11	?	?	?	?	?	?	?	?	1	?

Другие типы вершин в мозаик евклидовой плоскости

Для евклидовых мозаик с соединением ребро-к-ребру внутренние углы многоугольников должны в сумме давать 360º. Правильный $n$ -угольник имеет внутренний угол $\left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }$ . Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, сумма внутренних углов которых равна 360º, каждая из которых называется видом вершины. В четырёх случаях существует два различных циклических порядка многоугольников, дающие двадцать один вид вершин.

Только одиннадцать из них могут появиться в однородной мозаике правильных многоугольников, приведённых в предыдущих разделах.

В частности, если три многоугольника встречаются в вершине и один имеет нечётное число сторон, два других многоугольника должны быть теми же самыми. В противном случае они должны поочерёдно окружать первый многоугольник, что невозможно при нечётной стороне сторон. Согласно этим ограничениям следующие шесть вариантов не могут присутствовать в какой-либо мозаике правильных многоугольников:

3 многоугольника в вершинах (неиспользуемые)
3 . 7 .	3. 8 . 24	3. 9 . 18	3. 10 . 15	4 .5. 20	5.5.10

Эти четыре могут быть использованы в k -однородных мозаик:

4 многоугольника в вершине (могут присутствовать вместе с другими видами вершин)
Допустимые виды вершин	3 ² .4.12	3.4.3.12	3 ² .6 ²	3.4 ² .6
Примеры 2-однородных мозаик	с 3 ⁶	с 3.12.12	с (3.6) ²	с (3.6) ²

Разрезанные правильные многоугольники

Некоторые из k -однородных мозаик могут быть получены с помощью симметричного разрезания плитки мозаики внутренними рёбрами, например:

Разрезанные многоугольники рёбрами,
равными рёбрам исходного многоуольника
Шестиугольник	Двенадцатиугольник

Некоторые k-однородные многоугольники могут быть получены разрезанием правильных многоугольников с новыми вершинами на исходных рёбрах, например:

Разрезание с 1 или 2 вершин на ребре
треугольник			квадрат		шестиугольник

2-однородные мозаики

Существует двадцать 2-однородных мозаик евклидовой плоскости (называемых также 2- изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками ) .

2-однородные мозаики (20)
p6m, *632						p4m, *442
(t=3, e=3)	[3.4.6.4; 3 ² .4.3.4] (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3 ³ .4 ² ] (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3.4 ² .6] (t=5, e=5)	(t=4, e=4)	(t=4, e=4)	[3.12.12; 3.4.3.12] (t=3, e=3)
p6m, *632	p6, 632	p6, 632	cmm, 2*22	pmm, *2222	cmm, 2*22	pmm, *2222
[3 ⁶ ; 3 ² .6 ² ] (t=2, e=3)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ .6] ₁ (t=3, e=3)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ .6] ₂ (t=5, e=7)	[3 ² .6 ² ; 3 ⁴ .6] (t=2, e=4)	[3.6.3.6; 3 ² .6 ² ] (t=2, e=3)	₂ (t=3, e=4)	[3.4 ² .6; 3.6.3.6] ₁ (t=4, e=4)
p4g, 4*2	pgg, 2×	cmm, 2*22	cmm, 2*22	pmm, *2222	cmm, 2*22
[3 ³ .4 ² ; 3 ² .4.3.4] ₁ (t=4, e=5)	[3 ³ .4 ² ; 3 ² .4.3.4] ₂ (t=3, e=6)	[4 ⁴ ; 3 ³ .4 ² ] ₁ (t=2, e=4)	[4 ⁴ ; 3 ³ .4 ² ] ₂ (t=3, e=5)	[3 ⁶ ; 3 ³ .4 ² ] ₁ (t=3, e=4)	[3 ⁶ ; 3 ³ .4 ² ] ₂ (t=4, e=5)

3-однородные мозаики

Существует 61 3-однородная мозаика евклидовой плоскости. 39 являются 3-архимедовыми с 3 различными видами вершин, а 22 имеет 2 одинаковые виды вершин в различных орбитах симметрии .

3-однородные мозаики, 3 вида вершин

3-однородные мозаики с 3 видами вершин (39)
[3.4 ² 6; 3.6.3.6; 4.6.12] (t=6, e=7)	[3 ⁶ ; 3 ² 4.12; 4.6.12] (t=5, e=6)	[3 ² 4.12; 3.4.6.4; 3.12 ² ] (t=5, e=6)	[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.12 ² ] (t=5, e=6)	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 4.12; 3.4.6.4] (t=6, e=8)
[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 3 ² 4.12] (t=6, e=7)	[3 ⁶ ; 3 ² 4.3.4; 3 ² 4.12] (t=5, e=6)	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3 ² 4.3.4] (t=5, e=6)	[3 ⁶ ; 3 ² 4.3.4; 3.4 ² 6] (t=5, e=6)	[3 ⁶ ; 3 ² 4.3.4; 3.4.6.4] (t=5, e=6)
[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 3.4.6.4] (t=6, e=6)	[3 ⁶ ; 3 ² 4.3.4; 3.4.6.4] (t=6, e=6)	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 3 ² 4.3.4] (t=4, e=5)	[3 ² 4.12; 3.4.3.12; 3.12 ² ] (t=4, e=7)	[3.4.6.4; 3.4 ² 6; 4 ⁴ ] (t=3, e=4)
[3 ² 4.3.4; 3.4.6.4; 3.4 ² 6] (t=4, e=6)	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 4.3.4; 4 ⁴ ] (t=4, e=6)	[3.4 ² 6; 3.6.3.6; 4 ⁴ ] (t=5, e=7)	[3.4 ² 6; 3.6.3.6; 4 ⁴ ] (t=6, e=7)	[3.4 ² 6; 3.6.3.6; 4 ⁴ ] (t=4, e=5)
[3.4 ² 6; 3.6.3.6; 4 ⁴ ] (t=5, e=6)	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3.4 ² 6] (t=5, e=8)	[3 ² 6 ² ; 3.4 ² 6; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[3 ² 6 ² ; 3.4 ² 6; 3.6.3.6] (t=5, e=7)	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3.4 ² 6] (t=5, e=7)
[3 ² 6 ² ; 3.6.3.6; 6 ³ ] (t=4, e=5)	[3 ² 6 ² ; 3.6.3.6; 6 ³ ] (t=2, e=4)	[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ] (t=2, e=5)	[3 ⁶ ; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ] (t=2, e=3)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ] (t=5, e=8)
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ] (t=3, e=5)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ] (t=3, e=6)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3.6.3.6] (t=5, e=6)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3.6.3.6] (t=4, e=4)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3.6.3.6] (t=3, e=3)
[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ] (t=4, e=6)	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ] (t=5, e=7)	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ] (t=3, e=5)	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ] (t=4, e=6)

3-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:1)

3-однородные мозаики (2:1) (22)
[(3.4.6.4)2; 3.4 ² 6] (t=6, e=6)	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6] (t=3, e=4)	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6] (t=5, e=5)	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6] (t=7, e=9)	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2] (t=4, e=6)
[3 ⁶ ; (3 ² 4.3.4)2] (t=4, e=5)	[(3.4 ² 6)2; 3.6.3.6] (t=6, e=8)	[3.4 ² 6; (3.6.3.6)2] (t=4, e=6)	[3.4 ² 6; (3.6.3.6)2] (t=5, e=6)	[3 ² 6 ² ; (3.6.3.6)2] (t=3, e=5)
[(3 ⁴ 6)2; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[(3 ⁴ 6)2; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2] (t=4, e=7)	[(3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ] (t=5, e=7)	[3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2] (t=3, e=6)
[(3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ] (t=4, e=6)	[(3 ³ 4 ² )2; 3 ² 4.3.4] (t=5, e=8)	[3 ³ 4 ² ; (3 ² 4.3.4)2] (t=6, e=9)	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2] (t=5, e=7)	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2] (t=4, e=6)
[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ] (t=6, e=7)	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ] (t=5, e=6)

4-однородные мозаики

Существует 151 4-однородная мозаика евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха (Brian Galebach) воспроизвели список Кротенхирдта (Krotenheerdt) из 33 4-однородных мозаик с 4 различными видами вершин, 85 мозаик с 3 видами вершин и 33 мозаики с 2 видами вершин.

4-однородные мозаики, 4 вида вершин

Существует 34 мозаики с 4 видами вершин.

4-однородные мозаики с 4 видами вершин (33)
[33434; 3 ² 6 ² ; 3446; 6 ³ ]	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; 46.12]	[33434; 3 ² 6 ² ; 3446; 46.12]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 33434; 334.12]	[3 ⁶ ; 33434; 334.12; 3.12 ² ]
[3 ⁶ ; 33434; 343.12; 3.12 ² ]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 33434; 3464]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 33434; 3464]	[3 ⁶ ; 33434; 3464; 3446]	[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 3636; 6 ³ ]
[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 3636; 6 ³ ]	[334.12; 343.12; 3464; 46.12]	[3 ³ 4 ² ; 334.12; 343.12; 3.12 ² ]	[3 ³ 4 ² ; 334.12; 343.12; 4 ⁴ ]	[3 ³ 4 ² ; 334.12; 343.12; 3.12 ² ]
[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 33434; 4 ⁴ ]	[33434; 3 ² 6 ² ; 3464; 3446]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 3446; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3446; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3446; 3636]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3446]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3446]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 3636]	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; 6 ³ ]	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; 6 ³ ]	[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; 4 ⁴ ]
[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; 4 ⁴ ]	[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; 4 ⁴ ]	[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; 4 ⁴ ]

4-однородные мозаики, 3 вида вершин (2:1:1)

Существует 85 мозаик с 3 видами вершин.

4-однородные мозаики (3:1)
[3464; (3446)2; 46.12]	[3464; 3446; (46.12)2]	[334.12; 3464; (3.12 ² )2]	[343.12; 3464; (3.12 ² )2]	[33434; 343.12; (3464)2]
[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 334.12]	[(3464)2; 3446; 3636]	[3464; 3446; (3636)2]	[3464; (3446)2; 3636]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 33434]
[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 33434]	[3 ⁶ ; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁶ ; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )2; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )2; 6 ³ ]
[3 ⁶ ; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁶ ; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[(3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]
[(3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]	[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (3636)2]	[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (3636)2]	[3 ³ 4 ² ; 33434; (3464)2]	[3 ⁶ ; 33434; (3464)2]
[3 ⁶ ; (33434)2; 3464]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 3464]	[(3464)2; 3446; 3636]	[3 ⁴ 6; (33434)2; 3446]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (33434)2]
[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (33434)2]	[(3 ³ 4 ² )2; 33434; 4 ⁴ ]	[(3 ³ 4 ² )2; 33434; 4 ⁴ ]	[3464; (3446)2; 4 ⁴ ]	[33434; (334.12)2; 343.12]
[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )2; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )2; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ]
[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3636]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[(3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 3636]	[(3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 3636]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3636)2]	[3 ² 6 ² ; (3636)2; 6 ³ ]	[3 ² 6 ² ; (3636)2; 6 ³ ]	[(3 ² 6 ² )2; 3636; 6 ³ ]	[3 ² 6 ² ; 3636; (6 ³ )2]
[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)2]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)2]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3636]
[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3636]	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; (3446)2]	[3446; 3636; (4 ⁴ )2]	[3446; 3636; (4 ⁴ )2]	[3446; 3636; (4 ⁴ )2]
[3446; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]	[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]	[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]	[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]
[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]	[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]	[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]	[(3446)2; 3636; 4 ⁴ ]	[3446; (3636)2; 4 ⁴ ]
[3446; (3636)2; 4 ⁴ ]	[3446; (3636)2; 4 ⁴ ]	[3446; (3636)2; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]
[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]
[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]

4-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:2) и (3:1)

Существует 33 мозаики с 2 видами вершин, 12 с отношением типов плиток 2:2 и 21 с отношением (3:1).

4-однородные мозаики (2:2)
[(3464)2; (46.12)2]	[(33434)2; (3464)2]	[(33434)2; (3464)2]	[(3 ⁴ 6)2; (3636)2]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2]
[(3 ³ 4 ² )2; (33434)2]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2]
[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2]

4-однородные мозаики (3:1)
[343.12; (3.12 ² )3]	[(3 ⁴ 6)3; 3636]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)3]	[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6]	[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6]
[(3 ³ 4 ² )3; 33434]	[3 ³ 4 ² ; (33434)3]	[3446; (3636)3]	[3446; (3636)3]	[3 ² 6 ² ; (3636)3]
[3 ² 6 ² ; (3636)3]	[3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )3]	[3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )3]	[(3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[(3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]
[(3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3]	[(3 ⁶ )3; 3 ³ 4 ² ]
[(3 ⁶ )3; 3 ³ 4 ² ]

5-однородные мозаики

Существует 332 5-однородные мозаики евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха дали 332 5-однородных мозаик с числом видов вершин от 2 до 5. Существует 74 мозаики с 2 видами вершин, 149 мозаик с 3 видами вершин, 94 мозаики с 4 видами вершин и 15 с 5 видами вершин.

5-однородные мозаики, 5 типов вершин

Существует 15 5-однородных мозаик с 5 видами вершинных фигур.

5-однородные мозаики, 5 типов
[33434; 3 ² 6 ² ; 3464; 3446; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 3636; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3446; 46.12]	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 33434; 3446; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 33434; 3464; 3446; 3636]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3464; 3446; 3636]	[33434; 334.12; 3464; 3.12.12; 46.12]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3446; 3636; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3446; 3636; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3446; 3636; 4 ⁴ ]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3446; 3636; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 3446; 3636; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3446; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446]

5-однородные мозаики, 4 типов вершин (2:1:1:1)

Существует 94 5-однородные мозаики с 4 видами вершин.

5-однородные мозаики (2:1:1:1)
[3 ⁶ ; 33434; (3446)2; 46.12]	[3 ⁶ ; 33434; 3446; (46.12)2]	[3 ⁶ ; 33434; 3464; (46.12)2]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (334.12)2; 3464]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 334.12; 3464]
[3 ⁶ ; 33434; (334.12)2; 3464]	[3 ⁶ ; 33434; 334.12; (3.12.12)2]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 334.12]	[3 ⁶ ; 33434; 343.12; (3.12.12)2]	[(3 ³ 4 ² )2; 334.12; 343.12; 3.12.12]
[(3 ³ 4 ² )2; 334.12; 343.12; 3.12.12]	[(3 ³ 4 ² )2; 334.12; 343.12; 4 ⁴ ]	[33434; 3 ² 6 ² ; (3446)2; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 33434; 4 ⁴ ]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 33434; 4 ⁴ ]
[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (3464)2; 3446]	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3464; (3446)2]	[33434; 3 ² 6 ² ; 3464; (3446)2]	[3 ⁶ ; 33434; (3446)2; 3636]	[3 ³ 4 ² ; 33434; 3464; (3446)2]
[3 ⁶ ; 33434; (3 ² 6 ² )2; 3446]	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; (3464)2; 3446]	[33434; 3 ² 6 ² ; (3464)2; 3446]	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; (3464)2; 3446]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 33434; 3464]
[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; 33434; 3464]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (33434)2; 3464]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 33434; 3464]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (33434)2; 3464]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 33434; 334.12]
[3 ⁶ ; 33434; (334.12)2; 343.12]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 33434]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 3636]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 3636]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (3636)2]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 3636]
[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 3636]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 6 ³ ]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636; 6 ³ ]	[(3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; 3636; 6 ³ ]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 6 ³ ]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )2]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 6 ³ ]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636; 6 ³ ]
[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636; 6 ³ ]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636; 6 ³ ]	[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; 3636; (6 ³ )2]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; 3636; 6 ³ ]	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; (6 ³ )2]
[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; (6 ³ )2]	[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; (4 ⁴ )2]	[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; (4 ⁴ )2]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)2; 4 ⁴ ]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)2; 4 ⁴ ]
[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; (4 ⁴ )2]	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3446; (4 ⁴ )2]	[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; (4 ⁴ )2]	[3 ² 6 ² ; 3446; 3636; (4 ⁴ )2]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)2; 4 ⁴ ]
[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)2; 4 ⁴ ]	[3 ³ 4 ² ; 3 ² 6 ² ; 3446; (4 ⁴ )2]	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3446; (4 ⁴ )2]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3636; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (3446)2; 3636]
[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3446; 3636]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3446; 3636]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3446; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (3446)2; 3636]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3446; 3636]
[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3446; 3636]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3446; 3636]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; 3446; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; 3446; (3636)2]	[3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; (3446)2; 3636]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3446]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3 ² 6 ² ; 3636]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3 ² 6 ² ; 3636]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ³ 4 ² ; 3446]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ³ 4 ² ; 3446]
[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; 3 ³ 4 ² ; 3446]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3636]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; 3 ³ 4 ² ; 3636]

5-однородные мозаики, 3 типа вершин (3:1:1) и (2:2:1)

Существует 149 5-однородных мозаик с тремя видами вершин, из них у 60 виды вершин находятся в отношении 3:1:1 и 89 имеют отношение 2:2:1.

5-однородные мозаики (3:1:1)
[3 ⁶ ; 334.12; (46.12)3]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2; 3464]	[(3 ³ 4 ² )2; 334.12; (3464)2]	[3 ⁶ ; (33434)2; (3464)2]	[3 ³ 4 ² ; (33434)2; (3464)2]
[3 ³ 4 ² ; (33434)2; (3464)2]	[3 ³ 4 ² ; (33434)2; (3464)2]	[(33434)2; 343.12; (3464)2]	[3464; 3446; (46.12)3]	[3 ⁶ ; (334.12)3; 46.12]
[334.12; 343.12; (3.12.12)3]	[3 ⁶ ; (33434)3; 343.12]
[3 ² 6 ² ; 3636; (6 ³ )3]	[3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ; (6 ³ )3]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )3; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )3; 6 ³ ]	[3 ² 6 ² ; (3636)3; 6 ³ ]
[3446; 3636; (4 ⁴ )3]	[3446; 3636; (4 ⁴ )3]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )3]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )3]	[3446; (3636)3; 4 ⁴ ]
[3446; (3636)3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )3; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]
[(3 ⁶ )3; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]	[3446; 3636; (4 ⁴ )3]	[3446; 3636; (4 ⁴ )3]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )3]	[3 ⁶ ; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )3]
[(3 ³ 4 ² )3; 3 ² 6 ² ; 3446]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)3]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)3]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)3]	[3 ² 6 ² ; 3446; (3636)3]
[3446; (3636)3; 4 ⁴ ]	[3446; (3636)3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]
[(3 ⁶ )3; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )3; 3 ³ 4 ² ; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )3; 4 ⁴ ]
[(3 ³ 4 ² )3; 3446; 3636]	[(3 ³ 4 ² )3; 3446; 3636]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )3; 3446]	[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ]
[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )3; 3636]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )3; 3636]	[(3 ⁴ 6)3; 3 ² 6 ² ; 3636]	[(3 ⁴ 6)3; 3 ² 6 ² ; 3636]
[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁴ 6)3; 3 ² 6 ² ; 3636]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3636)3]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3636)3]
[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3636)3]	[3 ⁶ ; 3 ⁴ 6; (3636)3]	[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6; 3636]	[(3 ⁶ )3; 3 ⁴ 6; 3636]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)3; 3636]

5-однородные мозаики (2:2:1)
[(3446)2; (3636)2; 46.12]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )2; (6 ³ )2]	[(3 ² 6 ² )2; (3636)2; 6 ³ ]	[(3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2; 6 ³ ]	[3 ⁶ ; (3 ² 6 ² )2; (6 ³ )2]
[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2; 33434]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (33434)2]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; (33434)2]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (33434)2]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (33434)2]
[(3 ² 6 ² )2; 3636; (6 ³ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[3446; (3636)2; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]
[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[3446; (3636)2; (4 ⁴ )2]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]
[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]
[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[3446; (3636)2; (4 ⁴ )2]
[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[3446; (3636)2; (4 ⁴ )2]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]
[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )2]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )2]	[(3446)2; 3636; (4 ⁴ )2]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]
[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )2; 4 ⁴ ]	[(33434)2; 3 ² 6 ² ; (3446)2]	[3 ³ 4 ² ; (3 ² 6 ² )2; (3446)2]
[3 ³ 4 ² ; (3 ² 6 ² )2; (3446)2]	[3 ² 6 ² ; (3446)2; (3636)2]	[(3 ² 6 ² )2; 3446; (3636)2]	[(3 ² 6 ² )2; 3446; (3636)2]	[(3464)2; (3446)2; 3636]
[3 ² 6 ² ; (3446)2; (3636)2]	[3 ² 6 ² ; (3446)2; (3636)2]	[(3 ⁴ 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 ⁴ 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 ⁴ 6)2; (3446)2; 3636]
[(3 ⁴ 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 ³ 4 ² )2; (3446)2; 3636]	[(3 ³ 4 ² )2; (3446)2; 3636]	[(3 ⁴ 6)2; (3 ³ 4 ² )2; 3446]	[(3 ⁴ 6)2; 3 ³ 4 ² ; (3446)2]
[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2]
[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2]	[3 ⁴ 6; (3 ² 6 ² )2; (3636)2]	[(3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2]	[(3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ; (3636)2]
[(3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2; 3636]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2; 3636]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2; 3636]
[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; (3 ³ 4 ² )2]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2; 3 ² 6 ² ]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)2; (3 ² 6 ² )2]	[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; (3636)2]
[3 ⁴ 6; (3 ³ 4 ² )2; (3636)2]	[(3 ⁶ )2; 3 ⁴ 6; (3636)2]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)2; 3636]	[(3 ⁶ )2; 3 ³ 4 ² ; (33434)2]

5-однородные мозаики, 2 типа вершин (4:1) и (3:2)

Существует 74 5-однородные мозаики с 2 видами вершин, 27 мозаик с отношением 4:1 и 47 с отношением 3:2 каждого вида вершин.

5-однородные мозаики (4:1)
[(3464)4; 46.12]	[343.12; (3.12.12)4]	[3 ⁶ ; (33434)4]	[3 ⁶ ; (33434)4]	[(3 ⁶ )4; 3 ⁴ 6]
[(3 ⁶ )4; 3 ⁴ 6]	[(3 ⁶ )4; 3 ⁴ 6]	[3 ⁶ ; (3 ⁴ 6)4]	[3 ² 6 ² ; (3636)4]	[(3 ⁴ 6)4; 3 ² 6 ² ]
[(3 ⁴ 6)4; 3 ² 6 ² ]	[(3 ⁴ 6)4; 3636]	[3 ² 6 ² ; (3636)4]	[3446; (3636)4]	[3446; (3636)4]
[(3 ³ 4 ² )4; 33434]	[3 ³ 4 ² ; (33434)4]
[3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )4]	[3 ³ 4 ² ; (4 ⁴ )4]	[(3 ³ 4 ² )4; 4 ⁴ ]	[(3 ³ 4 ² )4; 4 ⁴ ]	[(3 ³ 4 ² )4; 4 ⁴ ]
[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )4]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )4]	[3 ⁶ ; (3 ³ 4 ² )4]	[(3 ⁶ )4; 3 ³ 4 ² ]	[(3 ⁶ )4; 3 ³ 4 ² ]

Существует 29 5-однородных мозаик с отношением видов вершин 3:2.

5-однородные мозаики (3:2)
[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)3; (3446)2]	[(33434)2; (3464)3]	[(33434)3; (3464)2]
[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)3]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)3]	[(3 ⁶ )3; (3 ⁴ 6)2]	[(3 ⁶ )3; (3 ⁴ 6)2]	[(3 ⁶ )3; (3 ⁴ 6)2]
[(3 ⁶ )3; (3 ⁴ 6)2]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)3]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)3]	[(3 ⁶ )2; (3 ⁴ 6)3]
[(3 ² 6 ² )2; (3636)3]	[(3 ⁴ 6)3; (3636)2]	[(3 ⁴ 6)3; (3636)2]	[(3 ⁴ 6)2; (3636)3]
[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)2; (3636)3]
[(3 ³ 4 ² )3; (33434)2]	[(3 ³ 4 ² )3; (33434)2]	[(3 ³ 4 ² )2; (33434)3]	[(3 ³ 4 ² )2; (33434)3]
[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )3]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )3]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )3]	[(3 ³ 4 ² )3; (4 ⁴ )2]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )3]
[(3 ³ 4 ² )3; (4 ⁴ )2]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )3]	[(3 ³ 4 ² )2; (4 ⁴ )3]	[(3 ³ 4 ² )3; (4 ⁴ )2]	[(3 ³ 4 ² )3; (4 ⁴ )2]
[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )3]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )3]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )3]	[(3 ⁶ )2; (3 ³ 4 ² )3]	[(3 ⁶ )3; (3 ³ 4 ² )2]
[(3 ⁶ )3; (3 ³ 4 ² )2]	[(3 ⁶ )3; (3 ³ 4 ² )2]	[(3 ⁶ )3; (3 ³ 4 ² )2]	[(3 ⁶ )3; (3 ³ 4 ² )2]	[(3 ⁶ )3; (3 ³ 4 ² )2]

k-однородные мозаики более высокого порядка

k -однородные мозаики перечислены вплоть до 6. Существует 673 6-однородные мозаики евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха воспроизвели список Кротенхирдта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными видами вершин, 92 с 5 видами, 187 с 4 видами, 284 с 3 видами и 100 с 2 видами вершин.

Мозаики плиток, не соединённых ребро-к-ребру

Выпуклые правильные многоугольники могут образовывать мозаики плоскости, когда соединение многоугольников не осуществляется ребро-к-ребру. Такие мозаики можно считать мозаиками с соединением ребро-к-ребру, но многоугольники будут неправильными и имеющими рёбра, лежащие на одной прямой.

Существует семь семейств с параметром, определяющим коэффициент наложения рёбер смежных плиток или отношение длин рёбер различных плиток. Два этих семейства образуются сдвигом квадратов, постоянным или зигзагообразным. Грюнбаум и Шепард называет эти мозаики однородными , хотя это противоречит определению однородности Коксетером, которое требует соединение ребро-к-ребру . Такие равноугольные мозаики, фактически, топологически идентичны однородным мозаикам с различными геометрическими пропорциями.

Периодические изогональные мозаики
из выпуклых правильных многоугольников, не соединённых ребро-к-ребру
1	2	3	4	5	6	7
Ряды четырёх- угольников с горизонтальными сдвигами		Ряды треугольников с горизонтальными сдвигами	Мозаика из квадратов	Три шестиугольника, окружающих каждый треугольник	Шесть треугольников, окружающих каждый шестиугольник	Треугольники трёх размеров
cmm (2*22)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p4m (*442)	p6 (632)		p3 (333)
Шестиугольная мозаика		Квадратная мозаика (вырожденная)			Шестиугольная мозаика	Тришестиугольная мозаика

См. также

Примечания

, с. 60-61.
30 июня 2015 года. Nils Lenngren, 2009
, с. 62-67.
, с. 65-67.
. Дата обращения: 16 января 2016. Архивировано из 7 мая 2016 года.
.
от 3 марта 2016 на Wayback Machine p.236

Grünbaum, Branko , . Tilings and Patterns. — W. H. Freeman and Company, 1990. — ISBN 0-7167-1193-1 .
Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard. // Math. Mag.. — 1977. — Т. 50 . — С. 227–247 . — doi : .
Branko Grünbaum, G. C. Shephard. The ninety-one types of isogonal tilings in the plane // Trans. Am. math. Soc.. — 1978. — Т. 252 . — С. 335–353 . — doi : .
I. Debroey, F. Landuyt. Equitransitive edge-to-edge tilings // Geometriae Dedicata. — 1981. — Т. 11 , вып. 1 . — С. 47–60 . — doi : .
Ding Ren, John R. Reay. The boundary characteristic and Pick's theorem in the Archimedean planar tilings // J. Combinat. Theory A. — 1987. — Т. 44 , вып. 1 . — С. 110–119 . — doi : .
D. Chavey. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17 . — С. 147–165 . — doi : .
Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York,: Thames & Hudson, 2000. — ISBN 0-500-34033-1 . Reprint 1969 London ISBN=9-780-500-34033-2
Duncan MacLaren Young Sommerville. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — Dover Publications, 1958. Глава X: The Regular Polytopes
P. =Préa. Distance sequences and percolation thresholds in Archimedean Tilings // Mathl. Comput. Modelling. — 1997. — Т. 26 . — С. 317–320 . — doi : .
Jurij Kovic. Symmetry-type graphs of Platonic and Archimedean solids // Math. Commun.. — 2011. — Т. 16 , вып. 2 . — С. 491–507 .
Daniel Pellicer, Gordon Williams. Minimal covers of the Archimedean Tilings // El. J. Combinat. — 2012. — Т. 19 , вып. 3 . — С. P6 .
Dale Seymour, Jill Britton. . — Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1989. — С. –57. — ISBN 978-0866514613 .

Ссылки

Euclidean and general tiling links:

Dutch, Steve. . Дата обращения: 9 сентября 2006. Архивировано из 9 сентября 2006 года.
Mitchell, K. . Дата обращения: 9 сентября 2006.
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .