Делящаяся плитка ( англ. rep-tile ) — понятие геометрии мозаик , фигура, которую можно на меньшие копии самой фигуры. В 2012 обобщение делящихся мозаик с названием self-tiling tile set (набор плиток с самозамощением) было предложено английским математиком в журнале Mathematics Magazine .

Терминология

Делящиеся плитки обозначаются rep- n , если разрезание использует n копий. Такие фигуры обязательно формируют замощения плоскости, во многих случаях образующую непериодичную мозаику . Разрезание делящейся плитки с использованием различных размеров называется нерегулярной делящейся плиткой. Если такое разрезание использует n копий, фигуру обозначают irrep- n . Если все подплитки имеют различные размеры, разрезание называют совершенным. Фигуры rep- n или irrep- n являются, очевидно, irrep-( kn − k + n ) для любого k > 1 (просто заменяем самый маленький элемент разрезания на n ещё более мелких элементов). Порядком плитки, будь то rep- или irrep-плитка, называется наименьшее возможное число частей, на которые плитку можно разрезать (сохраняя форму частей).

Примеры

Любой квадрат , прямоугольник , параллелограмм , ромб или треугольник является rep-4. Гексиамонд «Сфинкс» (верхний рисунок) является rep-4 и rep-9 и является одним из нескольких известных самовоспроизводящихся пятиугольников. Кривая Госпера является rep-7. Снежинка Коха является irrep-7 — шесть меньших снежинок одинакового размера, вместе со снежинкой втрое большей площади, можно скомбинировать для получения одной снежинки большего размера.

Прямоугольный треугольник с длинами сторон в пропорции 1:2 является rep-5, а его rep-5 разрезание образует базис апериодичной мозаики «Вертушка» . По теореме Пифагора гипотенуза треугольника rep-5 имеет длину √5.

Международный стандарт ISO 216 определяет размеры листов бумаги с помощью √ 2 — длинная сторона прямоугольного листа бумаги в квадратный корень из 2 раз длинней короткой стороны. Прямоугольники с такой формой являются rep-2. Прямоугольник (или параллелограмм) является rep- n , если его равно √n:1(но не только, например √3: √2 является rep-6, как и прямоугольник √6:1). Равнобедренный прямоугольный треугольник является rep-2.

Делящаяся плитка и симметрия

Некоторые делящиеся плитки, такие как квадрат и правильный треугольник , симметричны и остаются идентичными при зеркальном отражении . Другие, такие как сфинкс , являются асимметричными и существуют в двух различных формах , связанных зеркальным отражением. Разрезание сфинкса и некоторых других асимметричных делящихся плиток требует использования обоих видов — исходной фигуры и её зеркального образа.

Делящаяся плитка и полиформы

Некоторые делящиеся плитки основываются на полиформах , таких как полиамонды и полимино , или на фигурах, созданных соединением правильных треугольников и квадратов ребро-к-ребру.

Квадраты

Если полимино квадрируемо или может замостить прямоугольник , то оно будет делящейся плиткой, поскольку прямоугольником можно замостить квадрат (который сам по себе является частным случаем прямоугольника). Это легко можно видеть в элементах октамино , состоящих из восьми квадратов. Две копии некоторых элементов октамино заполняют квадрат, поэтому эти элементы также являются делящимися плитками rep-16.

Четыре копии одних и тех же нонамино и замощают квадрат, поэтому эти полиформы являются также делящимися плитками rep-36.

Правильные треугольники

Таким же образом, если полиамонд замощает правильный треугольник, он будет также делящейся плиткой.

Прямоугольные треугольники

Полиформы, основанные на равнобедренных прямоугольных треугольниках (с углами 45°-90°-45°), известны как полиаболо . Бесконечное число из них являются делящимися плитками. Более того, простейшей из всех делящихся плиток является (одиночный) равнобедренный прямоугольный треугольник. Он является rep-2, если разделить высотой гипотенузу . Rep-2 делящиеся плитки являются rep-2 ⁿ плитками и rep-4,8,16+ треугольники порождают дальнейшие делящиеся плитки. Нижеприведённые плитки найдены путём отбрасывания половины плиток и перестановки оставшихся, пока они не станут дополнением при зеркальной симметрии внутри прямоугольного треугольника. Одна плитка напоминает рыбу, образованную тремя правильными треугольниками .

Пятиугольные делящиеся плитки

Треугольные и квадратные (четырёхсторонние) делящиеся плитки встречаются часто, а пятиугольные делящиеся плитки редки. Долгое время считалось, что сфинкс является единственным примером, но немецкий / новозеландский математик Карл Шерер и американский математик Джордж Зихерман нашли дополнительные примеры, включая двойную пирамиду и удлинённую версию сфинкса. Эти пятиугольные делящиеся плитки проиллюстрированы на страницах Math Magic , которые поддерживает американский математик Эрих Фридман . Однако сфинкс остаётся единственной известной пятиугольной делящейся плиткой, подкопии которой имеют тот же размер.

---

Делящиеся плитки и фракталы

Делящиеся плитки как фракталы

Делящиеся плитки можно использовать для создания фракталов или фигур, которые самоподобны во всё меньшем и меньшем размере. Фрактал (из делящейся плитки) образуется делением делящейся плитки (возможным) удалением нескольких копий разделённой фигуры, продолжая процесс рекурсивно . Например, ковёр Серпинского образуется этим способом из делящейся плитки (квадрата) делением на 27 меньших квадратов, а треугольник Серпинского образуется из делящейся плитки (правильного треугольника) делением на четыре меньших треугольника. Если удалять одну из копий, rep-4 L- тримино можно использовать для создания четырёх фракталов, два из которых идентичны, если не принимать во внимание ориентацию .

Фракталы в качестве делящихся плиток

Поскольку фракталы являются самоподобными, многие из них являются также самозамощаемыми, а потому являются делящимися плитками. Например, Треугольник Серпинского является rep-3, замощённым тремя копиями себя, а ковёр Серпинского является rep-8, замощённым восемью копиями себя.

Делящиеся плитки с множественными разрезаниями

Многие из известных делящихся плиток являются rep- n ² для всех положительных значений числа n . В частности, это верно для трёх трапеций , включая образованную из трёх правильных треугольников, для трёх пентамино (L-тримино, L-тетрамино P-пентамино) и гексимонда «Сфинкс».

Бесконечные мозаики

Среди правильных многоугольников только треугольник и прямоугольник можно разрезать на меньшие равные копии себя. Однако правильный шестиугольник может быть разрезан на шесть равносторонних треугольников, каждый из которых может быть разрезан на правильный шестиугольник и три правильных треугольника. Это является базисом бесконечного замощения шестиугольника шестиугольниками. Таким образом, шестиугольник является или irrep-бесконечной делящейся плиткой.

См. также

• Мозаика
• Самовоспроизведение
• Рептилии (литография)

Примечания

Литература

• М. Гарднер . Математические досуги. — Москва: «Мир», 1972.
• M. Gardner . Rep-Tiles // The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. — New York: W. W. Norton, 2001. — С. 46–58. .
• M. Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago: Chicago University Press, 1991. — С. 222–233.
• C. D. Langford. Uses of a Geometric Puzzle // Math. Gaz. — 1940. — Вып. 260 .
• Viorel Niţică. MASS selecta. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. — С. 205–217. .
• Lee Sallows. // Mathematics Magazine. — 2012. — Т. 85 , вып. 5 . — С. 323–333 . — doi : . .
• Scherer, Karl. «A Puzzling Journey to the Reptiles and Related Animals», 1987
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . London: Penguin, pp. 213—214, 1991.

Ссылки

Rep-плитки

• Mathematics Centre Sphinx Album:
• Clarke, A. L. «Reptiles.» .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (2001)
• (1999)

Irrep-плитки

• от 9 декабря 2015 на Wayback Machine