Interested Article - Семиугольная мозаика

Семиугольная мозаика

Тип
Вершинная фигура	7 ³
Символ Шлефли	{7,3}
	7 2
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	[7,3], (*732)
Двойственный многогранник
Свойства	Вершинно транзитивна , ,

Семиугольная мозаика — правильная мозаика на гиперболической плоскости . Она представляется cимволом Шлефли {7,3} и имеет три правильных семиугольника в каждой вершине.

Иллюстрации

Модель полуплоскости Пуанкаре	Дисковая модель Пуанкаре	Модель Клейна

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика имеет топологическую связь с правильными многогранниками как член последовательности правильных многогранников с cимволом Шлефли {n,3}.

* n 32 варианты симметрии правильных мозаик: n ³ или { n ,3}
Сферические				Евклидовы	Компактные гиперболические.		Параком- пактные.	Некомпактные гиперболические.

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}				{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Из построения Витхоффа следует, что существует восемь гиперболических , базирующихся на правильной семиугольной мозаике.

Если раскрасить в мозаике красным исходные грани, жёлтым исходные вершины, а синим исходные рёбра, имеется 8 форм.


Симметрия:						[7,3] ⁺ , (732)


			=t{3,7}	={3,7}
Однородные двойственные мозаики


	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7		V3.4.7.4	V3.3.3.3.7

Поверхности Гурвица

Группа симметрии семиугольной мозаики имеет в качестве фундаментальной области (2,3,7) треугольник Шварца , который образует эту мозаику.

Группа симметрии мозаики является группой треугольника (2,3,7) , и фундаментальной областью для этого действия является треугольник Шварца (2,3,7). Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, а потому, по теореме Гурвица об автоморфизмах , мозаика является универсальной мозаикой, покрывающей все поверхности Гурвица ( римановы поверхности с максимальной группой симметрии), давая мозаику семиугольниками, группа симметрии которой равна группе симметрии римановой поверхности. Наименьшей поверхностью Гурвица является (род 3, группа автоморфизма имеет порядок 168) и порождённая мозаика имеет 24 семиугольника, имеющие общие 56 вершин.

Двойственная имеет ту же самую группу симметрии и она задаёт поверхности Гурвица.

См. также

Примечания

Литература

John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
H.S.M. Coxeter . Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8 .