Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции ${\displaystyle f}$ , заданной выражением ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha },}$ где ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ является произвольным комплексным числом , а | x | < 1. Ряд в явном виде,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

( 1 )

и биномиальный ряд справа в формуле ( ) является степенным рядом , выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

Специальные случаи

Если ${\displaystyle \alpha }$ является неотрицательным целым числом n , то ${\displaystyle (n+2)}$ -й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель ${\displaystyle (n-n)}$ , так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона .

Следующие выражения верны для любого комплексного ${\displaystyle \beta }$ , но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле ( ):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}$

Чтобы это доказать, подставим ${\displaystyle x=-z}$ в выражение ( ) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

${\displaystyle {\binom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k+\beta }{k}}.}$

Сходимость

Условия сходимости

Сходится ли ряд в формуле ( ), зависит значений комплексных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и x . Точнее:

1. Если ${\displaystyle |x|<1}$ , ряд сходится абсолютно для любого комплексного ${\displaystyle \alpha }$ .
2. Если ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$ , либо ${\displaystyle \alpha =0}$ , где ${\displaystyle Re(\alpha )}$ означает вещественную часть ${\displaystyle \alpha }$ .
3. Если ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ и ${\displaystyle x\neq -1}$ ряд сходится тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Re(\alpha )>-1}$ .
4. Если ${\displaystyle x=-1}$ ряд сходится тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$ , либо ${\displaystyle \alpha =0}$ .
5. Если ${\displaystyle \left|x\right|>1}$ ряд расходится , за исключением случая, когда ${\displaystyle \alpha }$ — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если ${\displaystyle \alpha }$ не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости ${\displaystyle |x|=1}$ приведена ниже:

• Если ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$ ряд сходится абсолютно.
• Если ${\displaystyle -1<Re(\alpha )\leqslant 0}$ ряд сходится условно , если ${\displaystyle x\neq -1}$ , и расходится, если ${\displaystyle x=-1}$ .
• Если ${\displaystyle Re(\alpha )\leqslant -1}$ ряд расходится.

Тождества, используемые в доказательстве

Следующее выполняется для любого комплексного числа ${\displaystyle \alpha }$ :

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},}$

( 2 )

${\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.}$

( 3 )

Если ${\displaystyle \alpha }$ не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда ${\displaystyle k}$ больше ${\displaystyle \alpha }$ ), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое :

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .}$

( 4 )

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции :

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}$

откуда немедленно следуют грубые границы

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right|\leqslant {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},}$

( 5 )

для некоторых положительных констант m и M .

Формула ( ) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}$

( 6 )

Доказательство

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу ( ) выше, чтобы показать, что когда ${\displaystyle \alpha }$ не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы ( ) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},}$

с ${\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }$ . Для доказательства (iii) сначала используем формулу ( ), чтобы получить

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}$

( 7 )

а затем используем (ii) и снова формулу ( ) для доказательства сходимости правой части, когда ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}$ . С другой стороны, ряд не сходится, если ${\displaystyle |x|=1}$ and ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leqslant -1}$ , снова по формуле ( ). Иначе можно заметить, что для всех ${\displaystyle j}$ , ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geqslant 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geqslant 1}$ . Тогда, по формуле ( ), для всех ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geqslant 1}$ . Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество ( ) выше с ${\displaystyle x=-1}$ и ${\displaystyle \alpha -1}$ вместо ${\displaystyle \alpha }$ , и используем формулу ( ), чтобы получить

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

при ${\displaystyle n\to \infty }$ . Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$ . (А именно, ${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}}$ определённо сходится к ${\displaystyle 0}$ , если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}$ и расходится к ${\displaystyle +\infty }$ , если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}$ . Если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}$ , то ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}}$ и сходится тогда и только тогда, когда последовательность ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}$ , что определённо выполняется, если ${\displaystyle \alpha =0}$ , но неверно, если ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}$ ).

Суммирование биномиальных рядов

Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ и использовать формулу ( ), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией , решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle (1+x)u'(x)=\alpha u(x)}$ с начальным значением ${\displaystyle u(0)=1}$ . Единственным решение этой задачи является функция ${\displaystyle u(x)=(1+x)^{\alpha }}$ , которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ . Равенство расширяется до ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ , если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}$ .

История

Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей , ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида ${\displaystyle y=(1-x^{2})^{m}}$ , где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты ${\displaystyle c_{k}}$ при ${\displaystyle (-x^{2})^{k}}$ получаются путём умножения предыдущего коэффициента на ${\displaystyle {\tfrac {m-(k-1)}{k}}}$ (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона . Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимости .

См. также

• Бином Ньютона

Примечания

Литература

• Niels Abel . // Journal für die reine und angewandte Mathematik . — 1826. — Т. 1 . — С. 311–339 .
• Coolidge J. L. // The American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56 , вып. 3 . — С. 147—157 . — doi : . — JSTOR .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (англ.) на сайте PlanetMath .
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4