Ряд Фурье́ — представление функции ${\displaystyle f}$ с периодом ${\displaystyle \tau }$ в виде ряда

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)}$

Этот ряд может быть также записан в виде

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},}$

где

${\displaystyle A_{k}}$ — амплитуда ${\displaystyle k}$ -го гармонического колебания,

${\displaystyle k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega }$ — круговая частота гармонического колебания,

${\displaystyle \theta _{k}}$ — начальная фаза ${\displaystyle k}$ -го колебания,

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ — ${\displaystyle k}$ -я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису , состоящему из ортогональных функций . В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана , Фурье — Лебега и т. п.

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара , Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании , интегрировании , сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы ( теорема полноты ).

История

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли . Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией . Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики , теории перекрытия-оболочки и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])}$ (то есть функции, суммируемой на промежутке ${\displaystyle ([-\pi ,\pi ])}$ , или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),}$ (1)

где

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,}$

Числа ${\displaystyle a_{0}}$ , ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ ( ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ ) называются коэффициентами Фурье функции ${\displaystyle f}$ . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])}$ в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты ${\displaystyle a_{0}}$ , ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ . Если умножить правую часть (1) на ${\displaystyle \cos(kx)}$ и проинтегрировать по промежутку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент ${\displaystyle a_{k}}$ . Аналогично для ${\displaystyle b_{k}}$ .

Ряд (1) для функции ${\displaystyle f}$ из пространства ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])}$ сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через ${\displaystyle S_{k}(x)}$ частичные суммы ряда (1):

${\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$ ,

то их среднеквадратичное отклонение от функции ${\displaystyle f}$ будет стремиться к нулю:

${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0}$ .

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx}$ .

Мы также рассматриваем систему функций

${\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }$ .

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$ ,

где ряд в правой части сходится к ${\displaystyle f}$ по норме в ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ . Здесь

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx}$ .

Коэффициенты ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{0}=a_{0}/2}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0}$

${\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0}$

${\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0}$

Для вещественнозначной функции коэффициенты ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ и ${\displaystyle {\hat {f}}_{-k}}$ комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle f}$ — произвольный элемент из ${\displaystyle H}$ . Предположим, что мы хотим представить ${\displaystyle f}$ в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ :

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.}$

Домножим это выражение на ${\displaystyle \varphi _{k}}$ . С учётом ортогональности системы функций ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при ${\displaystyle n=k}$ :

${\displaystyle (f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.}$

Числа

${\displaystyle c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}}$

называются координатами , или коэффициентами Фурье элемента ${\displaystyle f}$ по системе ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ , а ряд

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}\varphi _{k}}$

называется рядом Фурье элемента ${\displaystyle f}$ по ортогональной системе ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ .

Ряд Фурье любого элемента ${\displaystyle f}$ по любой ортогональной системе сходится в пространстве ${\displaystyle H}$ , но его сумма не обязательно равна ${\displaystyle f}$ . Для ортонормированной системы ${\displaystyle {\varphi _{k}}}$ в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом , то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной , то есть в ${\displaystyle H}$ не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$ одновременно.
• система является замкнутой , то есть для любого ${\displaystyle f\in H}$ выполнено равенство Парсеваля

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2}}$ .

• линейные комбинации элементов ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$ плотны в пространстве ${\displaystyle H}$ .

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента ${\displaystyle f}$ равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$ . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.}$

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных , интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах . Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ частичные суммы ряда Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$ :

${\displaystyle S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$ .

Далее обсуждается сходимость последовательности функций ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ к функции ${\displaystyle f(x)}$ в различных смыслах. Функция ${\displaystyle f}$ предполагается ${\displaystyle 2\pi }$ -периодической (если она задана только на промежутке ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ , её можно периодически продолжить).

• Если ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ , то последовательность ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ сходится к функции ${\displaystyle f(x)}$ в смысле ${\displaystyle L_{2}}$ . Кроме того, ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ являются наилучшим (в смысле расстояния в ${\displaystyle L_{2}}$ ) приближением функции ${\displaystyle f}$ тригонометрическим многочленом степени не выше ${\displaystyle N}$ .
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке ${\displaystyle x_{0}}$ — локальное свойство, то есть, если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ совпадают в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ , то последовательности ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ и ${\displaystyle S_{N}(g,x_{0})}$ либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
• Если функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , то её ряд Фурье в этой точке сходится к ${\displaystyle f(x_{0})}$ . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции ${\displaystyle f}$ задаются признаком Дини .
• Функция, непрерывная в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к ${\displaystyle f(x_{0})}$ . Это следует из того, что для непрерывной в ${\displaystyle x_{0}}$ функции ${\displaystyle f}$ последовательность ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ сходится по Чезаро к ${\displaystyle f(x_{0})}$ .
• Если функция ${\displaystyle f}$ разрывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , но имеет пределы в этой точке справа и слева ${\displaystyle f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),}$ то при некоторых дополнительных условиях ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ сходятся к ${\displaystyle (f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2}$ . Подробнее см. модифицированный признак Дини .
• Теорема Карлесона: если ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду . Это верно и если ${\displaystyle f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1}$ . Однако, существуют функции из ${\displaystyle L_{1}([-\pi ,\pi ])}$ , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым ).
• Зафиксируем точку ${\displaystyle x_{0}\in (-\pi ,\pi )}$ . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве ${\displaystyle C([-\pi ,\pi ])}$ . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса ${\displaystyle C^{(k)}}$ , а экспоненциальное — аналитическим функциям . Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю ( ).
• Если функция ${\displaystyle f}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$ , то есть дифференцируема ${\displaystyle k}$ раз и её ${\displaystyle k}$ -я производная непрерывна, то ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}$
• Если ряд ${\displaystyle \sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}}$ сходится абсолютно , то ${\displaystyle f}$ совпадает почти всюду с функцией класса ${\displaystyle C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$ при всех ${\displaystyle k<\alpha }$ .
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем ${\displaystyle \alpha >1/2}$ , то ряд ${\displaystyle \sum {\hat {f}}_{n}}$ сходится абсолютно ( ). ^{[ источник не указан 341 день ]}

См. также

Примечания

Литература

• Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М. : «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М. : «Мир», 1965. — Т. 1.
• Харди Г. Х. , _en . Ряды Фурье. — М. : Физматгиз , 1959.
• Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям : учеб. пос. / А. П. Хромов , В. А. Халова ; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2009. ISBN 978-5-292-03945-7

Ссылки

• (неопр.) .
• (неопр.) .