В теории узлов брунново зацепление — это нетривиальное зацепление , которое распадается при удалении любой компоненты. Другими словами, разрезание любого (топологического) кольца расцепляет все остальные кольца (стало быть, никакие два из колец не сцеплены, как в зацеплении Хопфа ).

Название брунново дано в честь Германа Брунна , который в статье 1892 года Über Verkettung привёл примеры таких зацеплений.

Примеры

Наиболее известным и самым простым брунновым зацеплением являются кольца Борромео , зацепление трёх колец. Однако для любого числа, начиная с трёх, существует бесконечное число брунновых зацеплений, содержащее такое число колец. Существует несколько относительно простых зацеплений из трёх компонент, которые не эквивалентны кольцам Борромео:

• 
  Зацепление с 12 пересечениями.
• 
  Зацепление с 18 пересечениями.
• 
  Зацепление с 24 пересечениями.

Простейшее брунново зацепление, отличное от колец Борромео (имеющих 6 пересечений), по-видимому, с 10 пересечениями .

Пример n -компонентного бруннова зацепления — это , где каждая компонента оборачивает предыдущую по схеме aba ⁻¹ b ⁻¹ и последнее кольцо зацепляется за первое, образуя цикл .

Классификация

Брунновы зацепления описаны с точностью до гомотопии Джоном Милнором в статье 1954 года , и инварианты, введённые им, теперь называются инвариантами Милнора

( n + 1)-компонентное зацепление можно понимать как элемент n незацеплённых компонент (группа зацепления в этом случае является фундаментальной группой ). Группа зацепления n незацеплённых компонент является свободным произведением n образующих, то есть свободной группой F _n .

Не любой элемент группы F _n порождает брунново зацепление. Милнор показал, что группа элементов, соответствующих брунновым зацеплениям, связана с нижнего центрального ряда свободной группы, и её можно понимать как «соотношения» в .

Произведения Масси

Брунновы зацепления можно понимать с помощью : произведение Масси — это n -членное произведение, которое определено только если все ( n − 1)-членные произведения обращаются в нуль. Это соответствует свойству бруннова зацепления, в котором все наборы из ( n − 1) компонент не сцеплены, но все n компонент вместе образуют нетривиальное зацепление.

Брунновы косы

Бруннова коса — это коса, которая становится тривиальной при удалении любой из её нитей. Брунновы косы образуют подгруппу в группе кос . Брунновы косы на сфере , не являющиеся брунновыми на (плоском) круге , дают нетривиальные элементы в группах гомотопий сферы. Например, «стандартная» коса, соответствующая кольцам Борромео, даёт расслоение Хопфа S ³ → S ² , и продолжение такого плетения также даёт бруннову косу.

Примеры из реального мира

Многие головоломки на распутывание и некоторые механические головоломки являются вариантами брунновых зацеплений, и их целью является освобождение какого-либо элемента, частично связанного с остальной частью головоломки.

Брунновы цепочки используются для создания декоративных украшений из резиновых колец с помощью устройств типа (или её варианта Rainbow Loom).

Примечания

Литература

• A. J. Berrick, Frederick R. Cohen, Yan Loi Wong, Jie Wu. Configurations, braids, and homotopy groups // . — 2006. — Т. 19 , вып. 2 . — С. 265–326 . — doi : . .
• Hermann Brunn, «Über Verkettung», J. Münch. Ber, XXII. 77-99 (1892). (нем.)
• John Milnor. Link Groups // Annals of Mathematics . — Annals of Mathematics, 1954. — Т. 59 , вып. 2 (March) . — С. 177–195 . — doi : . — JSTOR .
• Dale Rolfsen (1976). Knots and Links . Berkeley: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-16-0 .

Ссылки

• (Можно также обратиться к оригиналу в журнале Forma ).
• Knot Atlas