Седловая поверхность (устаревшее название — антикластическая ) — гладкая поверхность , все точки которой седловые , то есть имеют отрицательную гауссову кривизну .

Термин происходит от специфической формы поверхности, напоминающей седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз.

Определение

Поверхность ${\displaystyle \Pi }$ называется (строго) седловой, если для любой точки ${\displaystyle p\in \Pi }$ произведение главных кривизн ${\displaystyle k_{1}(p){\cdot }k_{2}(p)}$ неположительно (отрицательно).

Примеры

• Минимальная поверхность
• Однополостный гиперболоид
• Гиперболический параболоид
• Обезьянье седло

Свойства

• Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну .
• От седловой поверхности нельзя отрезать горбушку плоскостью. Более точно: пересечение плоскости с седловой поверхностью не имеет компактных компонент.
  • Это свойство используется при определении седловых поверхностей в негладком случае.

Вариации и обобщения

• Понятие седловой поверхности обобщается на негладкий случай, как поверхность с которой нельзя срезать шапочку. Более точно поверхность ${\displaystyle s(u,v)}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ называется (обобщенно) седловой поверхностью если для любой линейной функции ${\displaystyle \ell \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ композиция ${\displaystyle \ell \circ s}$ не имеет строгих локальных минимумов и максимумов.

Поверхность в природе

• В верхней части хватательных конечностей раков-богомолов находится седлообразное образование, способствующее скоростному захвату добычи посредством сжатия и растяжения подобно пружине .

См. также

• Поверхность второго порядка
• Коническая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид

Примечания

1. (неопр.) Дата обращения: 4 июня 2014. 6 июня 2014 года.

Литература

• Гильберт Д. , Кон-Фоссен С. . — URSS , 1936.
• Фоменко В. Т. . — Соросовский образовательный журнал, N 12, 1999.