Interested Article - Глоссарий теории графов

Здесь собраны определения терминов из теории графов . Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице).

А

  • Автоморфизм графа с самим собой.
  • Ациклический граф — граф без .

Б

  • База графа — минимальное подмножество множества вершин графа, из которых достижима любая вершина графа.
  • Бесконечный граф — граф, имеющий бесконечно много вершин и/или рёбер.
  • Биграф — см. .
  • Блок — граф без .
  • Блок-дизайн с параметрами (v, k, λ) — покрытие с кратностью λ полного графа на v вершинах полными графами на k вершинах.

В

  • Вполне несвязный граф степени 0, то есть граф без .
  • Высота дерева — наибольшая длина пути от к .

Г

  • Гамильтонов граф — граф, в котором есть .
  • Гамильтонов путь в графе, содержащий все графа ровно по одному разу.
  • Гамильтонов цикл в графе, содержащий все вершины графа ровно по одному разу.
  • Геометрическая реализация — фигура, вершинам которой соответствуют вершины графа, рёбрам — рёбра графа и рёбра в фигуре соединяют вершины, соответствующие вершинам в графе.
  • Геометрический граф — плоская фигура из вершин — точек плоскости и рёбер — линий, соединяющих некоторые пары вершин. Может представлять многими способами всякий граф.
  • Гиперграф — совокупность из множества вершин и множества гиперрёбер (подмножество n-й евклидовой степени множества вершин, то есть гиперрёбра соединяют произвольное количество вершин).
  • Гомеоморфные графы — графы, получаемые из одного графа с помощью последовательности подразбиений рёбер.
  • Грань — область, ограниченная рёбрами в и не содержащая внутри себя вершин и рёбер графа. Внешняя часть плоскости тоже образует грань.
  • Граф — базовое понятие. Включает множество и множество , являющееся подмножеством декартова квадрата множества вершин (то есть каждое ребро соединяет ровно две вершины).
  • Граф рода g — граф, который можно изобразить без пересечений на поверхности рода g и нельзя изобразить без пересечений ни на одной поверхности рода g -1. В частности, имеют род 0.

Д

  • Двойственный граф . Граф А называется двойственным к планарному графу В , если вершины графа А соответствуют графа В , и две вершины графа A соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие грани графа B имеют хотя бы одно общее ребро.
  • Двудольный граф (или биграф , или чётный граф ) — такой граф , что множество вершин V разбито на два непересекающихся подмножества и , причём всякое ребро E инцидентно вершине из и вершине из (то есть соединяет вершину из с вершиной из ). То есть осуществляется двумя цветами. Множества и называются «долями» двудольного графа. Двудольный граф называется «полным», если любые две вершины из и являются смежными. Если , , то полный двудольный граф обозначается .
  • Двусвязный граф , в котором нет .
  • Дерево , не содержащий .
  • Диаметр графа — максимум расстояния между вершинами для всех пар вершин. Расстояние между вершинами — наименьшее число рёбер , соединяющего две вершины.
  • Длина — количество рёбер в маршруте (с повторениями). Если маршрут , то длина M равна k (обозначается ).
  • Длина — число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы). Так для пути v 1 , v 2 , …, v n длина равна n-1.
  • Дуга — ориентированное .
  • Дополнение графа — граф над тем же множеством вершин, что и исходный, но вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда в исходном графе ребра нет.

Е

  • Ежевика неориентированного графа G — семейство связных подграфов графа G , касающихся друг друга.

З

И

  • Изолированная вершина — вершина, которой равна 0 (то есть нет рёбер, ей).
  • Изоморфизм . Два графа называются изоморфными , если существует перестановка вершин, при которой они совпадают. Иначе говоря, два графа называются изоморфными , если существует взаимно-однозначное соответствие между их вершинами и рёбрами, которое сохраняет и (графы отличаются только названиями своих вершин).
  • Инвариант графа — числовая характеристика графа или их упорядоченный вектор, характеризующая структуру графа инвариантно относительно перенумерации вершин.
  • Интервальный граф — граф, вершины которого могут быть взаимно однозначно поставлены в соответствие отрезкам на действительной оси таким образом, что две вершины одному ребру тогда и только тогда, когда отрезки, соответствующие этим вершинам, пересекаются.
  • Инцидентность — понятие, используемое только в отношении ребра или дуги и вершины: если — вершины, а — соединяющее их ребро, тогда вершина и ребро инцидентны, вершина и ребро тоже инцидентны. Две вершины (или два ребра) инцидентными быть не могут. Для обозначения ближайших вершин (рёбер) используется понятие .

К

  • Клетка наименьшего для заданной степени вершин.
  • Клика — подмножество вершин графа, полностью соединённых друг с другом, то есть подграф, являющийся .
    • Кликовое число ( англ. clique number ) — число (G) вершин в наибольшей клике. Другие названия — густота, плотность.
    • Максимальная клика — клика с максимально возможным числом вершин среди клик графа.
  • Колесо (обозначается W n ) — граф с n вершинами (n ≥ 4), образованный соединением единственной вершины со всеми вершинами ( n -1)-цикла.
  • — просто ориентированный граф.
  • Конечный граф — граф, содержащий конечное число вершин и рёбер.
  • Конструктивное перечисление графов — получение полного списка графов в заданном классе.
  • Компонента связности графа — такое подмножество , для любых двух вершин которого существует из одной в другую, и не существует пути из вершины этого подмножества в вершину не из этого подмножества.
  • Компонента сильной связности графа , слой — максимальное множество вершин , такое, что для любых двух вершин из этого множества существует как из первой во вторую, так и из второй в первую.
  • Контур — замкнутый .
  • Корень дерева — выбранная ; в — вершина с нулевой степенью захода.
  • Коцикл — минимальный , минимальное множество рёбер, удаление которого делает граф несвязным.
  • Кратные рёбра — несколько , одной и той же паре вершин. Встречаются в .
  • Кубический граф — регулярный граф степени 3, то есть граф, в котором каждой вершине инцидентно ровно три ребра.
  • k-дольный граф — граф G, у которого c(G)=k
  • , в котором не существует набора из или менее , такого, что удаление всех вершин и инцидентных им нарушает связность графа. В частности, является 1-связным, а — 2-связным.

Л

  • Лама́нов граф с n вершинами — такой граф G , что, во-первых, для каждого k любой подграф графа G , содержащий k вершин, имеет не более, чем 2 k −3 ребра и, во-вторых, граф G имеет ровно 2 n −3 ребра.
  • Лес — неориентированный граф без циклов. леса являются .
  • Лист дерева с единственным или входящей .
  • Локальная степень вершины — число рёбер, ей инцидентных. Петля даёт вклад, равный «2», в степень вершины.

М

  • Макси-код — трудновычислимый полный инвариант графа , получаемый путём выписывания двоичных значений матрицы смежности в строчку с последующим переводом полученного двоичного числа в десятичную форму. Макси-коду соответствует такой порядок следования строк и столбцов, при котором полученное значение является максимально возможным.
  • Максимальное паросочетание в графе. Паросочетание называется максимальным, если любое другое паросочетание содержит меньшее число рёбер.
  • Маршрут в графе — чередующаяся последовательность вершин и рёбер , в которой любые два соседних элемента . Если , то маршрут замкнут , иначе открыт .
  • Матрица достижимости орграфа — матрица, содержащая информацию о существовании путей между вершинами в орграфе.
  • Матрица инцидентности графа — матрица, значения элементов которой характеризуется инцидентностью соответствующих вершин графа (по вертикали) и его рёбер (по горизонтали). Для неориентированного графа элемент принимает значение 1 , если соответствующие ему вершина и ребро инцидентны. Для графа элемент принимает значение 1 , если инцидентная вершина является началом ребра, значение -1 , если инцидентная вершина является концом ребра; в остальных случаях (в том числе и для ) значению элемента присваивается 0 .
  • Матрица смежности графа — матрица, значения элементов которой характеризуются смежностью вершин графа. При этом значению элемента матрицы присваивается количество рёбер, которые соединяют соответствующие вершины (то есть которые обеим вершинам).
  • Мини-код — трудновычислимый полный инвариант графа , получаемый путём выписывания двоичных значений матрицы смежности в строчку с последующим переводом полученного двоичного числа в десятичную форму. Мини-коду соответствует такой порядок следования строк и столбцов, при котором полученное значение является минимально возможным.
  • Минимальный каркас (или каркас минимального веса , минимальное остовное дерево ) графа — ациклическое (не имеющее циклов) множество рёбер в связном, взвешенном и неориентированном графе, соединяющих между собой все вершины данного графа, при этом сумма весов всех рёбер в нём минимальна.
  • Множество смежности вершины v — множество вершин, смежных с вершиной v . Обозначается .
  • Минором графа называется граф, который можно получить из исходного путём удаления и стягивания дуг.
  • Мост , удаление которого увеличивает количество в графе.
  • Мультиграф — граф, в котором может быть пара вершин, которая соединена более чем одним ребром (ненаправленным), либо более чем двумя дугами противоположных направлений.

Н

  • Направленный граф , в котором две вершины соединяются не более чем одной дугой.
  • Независимое множество вершин (известное также как внутренне устойчивое множество ) — множество вершин графа G, в котором любые две вершины несмежны (никакая пара вершин не соединена ребром).
    • Независимое множество называется максимальным , когда нет другого независимого множества, в которое оно бы входило. Дополнение наибольшего независимого множества называется минимальным вершинным покрытием графа.
    • Наибольшим независимым множеством называется независимое множество наибольшего размера.
  • Независимые вершины — попарно несмежные вершины графа.
  • Неразделимый граф — связный, непустой, не имеющий точек сочленения граф. .
  • Нормированный граф без .

  • Нуль-граф ( пустой граф ) — граф без .

О

  • Обхват — длина наименьшего в графе.
  • Объединение графов (помеченных графов и ) — граф , множеством вершин которого является , а множеством рёбер — .
  • Окрестность порядка k — множество вершин на расстоянии k от заданной вершины v ; иногда толкуется расширительно как множество вершин, отстоящих от v на расстоянии не больше k .
  • Окружение — множество вершин, смежных с заданной.
  • Орграф , ориентированный граф G = (V,E) есть пара множеств, где V — множество вершин (узлов), E — множество дуг (ориентированных рёбер). Дуга — упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w ведёт от вершины v к вершине w, при этом вершина w смежная с вершиной v.
  • Остовное дерево ( остов ) (неориентированного) связного графа — всякий , являющийся .
  • Остовный подграф — подграф, содержащий все вершины.

П

  • Паросочетание — набор попарно несмежных рёбер.
  • Петля — ребро, начало и конец которого находятся в одной и той же вершине.
  • Пересечение графов (помеченных графов и ) — граф , множеством вершин которого является , а множеством рёбер — .
  • Перечисление графов — подсчёт числа неизоморфных графов в заданном классе (с заданными характеристиками).
  • — вершина, которой равен диаметру графа.
  • Планарный граф — граф, который может быть изображён ( ) на плоскости без пересечения рёбер. плоскому графу, то есть является графом с пересечениями, но допускающий его плоскую укладку, поэтому может отличаться от изображением на плоскости. Таким образом, может быть разница между плоским графом и планарным графом при изображении на плоскости.
  • Плоский граф , в котором никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины (не пересекаются). Является графом на плоскости.
  • Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество им рёбер. (ср. .) По отношению к подграфу исходный граф называется
  • Полный граф — граф, в котором для каждой пары вершин , существует ребро, инцидентное и инцидентное (каждая вершина соединена ребром с любой другой вершиной).
  • Полный инвариант графа — числовая характеристика графа или их упорядоченный вектор, значения которой необходимо и достаточно для установления графов.
  • Полным двудольным называется , в котором каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества
  • Полустепень захода в для вершины — число дуг, входящих в вершину. Обозначается , , или .
  • Полустепень исхода в для вершины — число дуг, исходящих из вершины. Обозначается , , или .
  • Помеченный граф — граф, вершинам или дугам которого присвоены какие-либо метки, например, натуральные числа или символы какого-нибудь алфавита.
  • Порождённый подграф — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же рёбрами, как в графе.
  • Порядок графа — количество вершин графа.
  • раскраска , при которой каждый цветной класс является независимым множеством. Иначе говоря, в правильной раскраске любые две смежные вершины должны иметь разные цвета.
  • Произведение графов — для данных графов и произведением называется граф , вершины которого — декартово произведение множеств вершин исходных графов.
  • Простая цепь , в котором все вершины различны.
  • Простой граф , в котором нет и .
  • , все вершины которого попарно различны . Другими словами, простой путь не проходит дважды через одну вершину.
    • Простой цикл , не проходящий дважды через одну вершину.
  • Псевдограф — граф, который может содержать и/или кратные рёбра.

  • Пустой граф ( нуль-граф ) — граф без .
  • Путь — последовательность (в неориентированном графе) и/или дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги (ребра) является началом другой дуги (ребра). Или последовательность вершин и дуг (рёбер), в которой каждый элемент инцидентен предыдущему и последующему . Может рассматриваться как частный случай .
  • Путь в орграфе — последовательность вершин v 1 , v 2 , …, v n , для которой существуют дуги v 1 → v 2 , v 2 → v 3 , …, v n-1 → v n . Говорят, что этот путь начинается в вершине v 1 , проходит через вершины v 2 , v 3 , …, v n-1 , и заканчивается в вершине v n .

Р

  • Радиус графа — минимальный из вершин связного графа; вершина, на которой достигается этот минимум, называется центральной вершиной.
  • Разбиение графа — представление исходного графа в виде множества подмножеств вершин по определённым правилам.
  • Разделяющая вершина — то же, что и и .
  • Развёртка графа — функция, заданная на вершинах ориентированного графа.
  • Размеченный граф — граф, для которого задано множество меток S, функция разметки вершин f : A → S и функция разметки дуг g : R → S. Графически эти функции представляются надписыванием меток на вершинах и дугах. Множество меток может разделяться на два непересекающихся подмножества меток вершин и меток дуг.
  • Разрез — множество , удаление которого делает граф .
  • Рамочный граф — граф, который можно нарисовать на плоскости таким способом, что любая ограниченная грань является четырёхугольником и любая вершина с тремя и менее соседями инцидентна неограниченной грани.
  • Раскраска графа — разбиение вершин на множества (называемые цветами). Если при этом нет двух смежных вершин, принадлежащих одному и тому же множеству (то есть две смежные вершины всегда разного цвета), то такая раскраска называется правильной.
  • Расстояние между вершинами — длина кратчайшей цепи (в орграфе пути), соединяющей заданные вершины. Если такой цепи (пути) не существует, расстояние полагается равным бесконечности.
  • Рёберное покрытие — множество рёбер графа такое, что каждая вершина инцидентна хотя бы одному ребру из этого множества.
  • Рёберный граф неориентированного графа — это граф, представляющий соседство рёбер графа.
  • Ребро — базовое понятие. Ребро соединяет две графа.
  • Регулярный граф — граф, всех вершин которого равны. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается . Для нерегулярных графов не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.
    • Регулярный граф степени 0 ( вполне несвязный граф , пустой граф , нуль-граф ) — граф без .

С

  • Самодвойственный граф — граф, своему .
  • Сверхстройное (звездообразное) дерево — дерево, в котором имеется единственная вершина степени больше 2.
  • Связность . Две вершины в графе связаны , если существует соединяющая их (простая) .
  • Связный граф — граф, в котором все вершины связаны.
  • Сечение графа — множество рёбер, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть тривиальным графом.
  • Сеть — в принципе, то же, что и , хотя сетями обычно называют графы, которых определённым образом помечены.
    • Ориентированная сеть — ориентированный граф, не содержащий контуров.
  • Сильная связность . Две вершины в сильно связаны , если существует путь из первой во вторую и из второй в первую.
    • Сильно связный орграф , в котором все вершины сильно связаны.
  • Смежность — понятие, используемое в отношении только двух либо только двух : Два ребра, одной вершине, называются смежными ; две вершины, одному ребру, также называются смежными . (ср. .)
  • Смешанный граф — граф, содержащий как ориентированные, так и неориентированные .
  • Совершенное паросочетание — паросочетание, содержащее все вершины графа.
  • Соединением двух графов и , не имеющих общих вершин, называется граф .

Из определения видно, что соединение графов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности

  • Спектр графа — множество всех собственных значений матрицы смежности с учётом кратных рёбер.
  • Степень вершины — количество рёбер графа G , вершине x . Обозначается . Минимальная степень вершины графа G обозначается . а максимальная .
  • Стягивание ребра графа — замена концов ребра одной вершиной, соседями новой вершины становятся соседи этих концов. Граф стягиваем к , если второй можно получить из первого последовательностью стягиваний рёбер.
  • Суграф ( частичный граф ) исходного графа — граф, содержащий все вершины исходного графа и подмножество его . (ср. .)
  • Суперграф — любой граф, содержащий исходный граф (то есть для которого исходный граф является )

Т

  • Тета-граф — граф, состоящий из объединения трёх путей, не имеющих внутри общих вершин, у которых конечные вершины одни и те же
  • Тета-граф множества точек евклидовой плоскости строится как система конусов, окружающих каждую вершину с добавлением ребра для каждого конуса к точке множества, проекция которой на центральную ось конуса минимальна.
  • Тождественный граф — граф, у которого возможен один-единственный — тождественный. Образно говоря, тождественный граф — «абсолютно несимметричный» граф.
  • Точка сочленения — то же, что и и .
  • Триангуляция поверхности графа на поверхность , разбивающая её на треугольные области; частный случай топологической триангуляции .
  • Тривиальный граф — граф, состоящий не более чем из одной .
  • Турнир , в котором каждая пара вершин соединена одним ребром.

У

  • Узел — то же, что и .
  • Укладка , или вложение графа : граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно нарисовать на этой поверхности так, чтобы графа при этом не пересекались. (См. , .)
  • Укрытие — определённый тип функции на множествах вершин неориентированного графа. Если укрытие существует, его может использовать беглец чтобы выиграть игру преследования-уклонения на графе путём использования этой функции на каждом шаге игры для определения безопасных множеств вершин, куда можно перейти.
  • — граф, в котором рёбра, выходящие из каждой вершины, однозначно пронумерованы, начиная с 1. Рёбра считаются упорядоченными в порядке возрастания номеров. При графическом представлении часто рёбра считаются упорядоченными в порядке некоторого стандартного обхода (например, против часовой стрелки ).

Ф

  • n-фактор графа — регулярный степени .
  • n-факторизация графа — разбиение графа на независимые .

Х

  • Хроматическое число графа — минимальное количество цветов, требуемое для раскраски вершин графа, при которой любые вершины, соединенные ребром, раскрашены в разные цвета.
  • Характеристический многочлен графа — характеристический многочлен его матрицы смежности .

Ц

  • Центр графа — множество вершин , для которых справедливо равенство: , где — , а — радиус графа.
  • Цепь в графе — , все рёбра которого различны. Если все (а тем самым и рёбра) различны, то такая цепь называется простой ( элементарной ). В цепи вершины и называются концами цепи. Цепь с концами u и v соединяет вершины u и v . Цепь, соединяющая вершины u и v , обозначается . Для цепь называется орцепью.
    В некоторых источниках простая цепь — цепь, которой различны, что является более слабым условием.
  • Цикл — замкнутая . Для цикл называется .
    • Цикл ( простой цикл ) в не менее 1, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
    • Цикл Гамильтона — то же, что и .
  • Цикломатическое число графа — минимальное число рёбер, которые надо удалить, чтобы граф стал . Для связного графа существует соотношение: где — цикломатическое число, — число графа, — число , а — число .

Ч

Ш

  • Шарнир графа , в результате удаления которой вместе со всеми ей количество в графе возрастает.
  • Шестерёнка (обозначается ) — граф, получаемый из путём размещения дополнительных вершин между каждой парой смежных вершин . Шестерёнки принадлежат семейству и играют важную роль при описании запрещённых подграфов рамочных графов

Э

  • Эйлеров граф — граф, в котором существует , содержащий все рёбра графа по одному разу (вершины могут повторяться).
  • Эйлерова цепь (или эйлеров цикл ) — ( ), которая содержит все рёбра графа (вершины могут повторяться).
  • Эксцентриситет вершины — максимальное из всех минимальных расстояний от других вершин до данной вершины.
  • Элементарный путь , вершины которого, за исключением, быть может, первой и последней, различны. Другими словами, простой путь не проходит дважды через одну вершину, но может начаться и закончиться в одной и той же вершине, в таком случае он называется (элементарным циклом).
  • Элементарным стягиванием называется такая процедура: берём (вместе с инцидентными ему , например, u и v) и «стягиваем» его, то есть удаляем ребро и отождествляем вершины u и v. Полученная при этом вершина инцидентна тем рёбрам (отличным от), которым первоначально были инцидентны u или v.
  • Энергия графа — сумма абсолютных величин собственных значений матрицы смежности графа.

Ссылки

  1. Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. — С. 17.
  2. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1972. — С. 41.
  3. Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. — С. 16.
  4. Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. / Дискретная математика для инженера. / М.: Энергия, 1980—344 с., ил. Стр. 120—122
  5. А. В. Карзанов. Расширения конечных метрик и задача о размещении оборудования // Труды ИСА РАН. — 2007. — Т. 29 . — С. 225—244 (241) .
  6. М. Б. Абросимов. О минимальных вершинных 1-расширениях соединений графов специального вида. // Прикладная теория графов.. — 2011. — Вып. 4 .
  7. J. A. Bondy. . — Springer, 1972. — Т. 303. — С. 43–54. — (Lecture Notes in Mathematics). — doi : .
  8. H.-J. Bandelt, V. Chepoi, D. Eppstein. Combinatorics and geometry of finite and infinite squaregraphs // . — 2010. — Т. 24 , вып. 4 . — С. 1399–1440 . — doi : . — arXiv : . .

Литература

  • Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. − Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. − 336 c.
  • Харари Ф. Теория графов. — М. : УРСС , 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6 .
Источник —

Same as Глоссарий теории графов