Interested Article - Приведённый многочлен

В алгебре комплексных чисел приведённый многочлен — это многочлен одной переменной с единичным старшим коэффициентом . Старшим коэффициентом многочлена называется множитель при одночлене высшей степени . Соответственно, приведённый многочлен относительно одной переменной x имеет вид

x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}x^{0},

где a _{n

−1} , …, a ₀ — коэффициенты.

Приведение многочлена

В множестве комплексных чисел существует элемент 1 ( единица ), нейтральный относительно умножения, и при их сложении, вычитании, умножении и делении на ненулевое число получается всегда комплексное число, то есть это множество является полем , а значит, на этом поле любой многочлен можно свести к приведённому многочлену, корни которого остались бы те же, делением на старший коэффициент. По основной теореме алгебры и теореме Безу любой комплексный многочлен можно разложить в виде a _n ( x − x ₁ )…( x − x _n ), где x ₁ , …, x _n — все корни многочлена с учётом их кратности , а a _n оказывается старшим коэффициентом. Следовательно, превращая любой многочлен одной переменной в приведённый многочлен, его можно представить в виде ( x − x ₁ )…( x − x _n ). Таким образом получается, что в поле комплексных чисел приведённый многочлен, с учётом кратности имеющий те же корни, что и исходный, определён единственным образом.

Свойство

Замкнутость относительно умножения

Множество всех приведённых многочленов (с коэффициентами над каким-либо кольцом и с переменной x ) замкнуто относительно умножения, то есть произведение приведённых многочленов всегда является приведённым многочленом.

Целые алгебраические числа

Целое алгебраическое число — это число, которое может быть корнем какого-то приведённого многочлена с целыми коэффициентами . Целые алгебраические числа, грубо говоря, обобщают целые числа по тому же принципу, по какому рациональные числа обобщаются до алгебраических : если алгебраическое число имеет первую степень , то оно является рациональным, а если целое алгебраическое — то вообще целым .

Минимальный многочлен

Алгебраические числа, являющиеся «рациональным» обобщением целых алгебраических чисел, — это числа, которые могут быть представлены как корни какого-то многочлена с рациональными коэффициентами, не тождественно равного нулю. Таких многочленов оказывается бесконечно много: они могут образовываться умножением изначального многочлена на ненулевой коэффициент, а также на линейный множитель.

Среди всех этих многочленов «самым оптимальным» является минимальный многочлен. Минимальным многочленом (с коэффициентами из какого-то поля, содержащего единицу) алгебраического числа называется приведённый многочлен наименьшей степени.