Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик ( скалярных , векторных , тензорных ), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» ( кривой , поверхности , риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов ( прямая , плоскость , евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка . Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера , такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой

Кривизна кривой, заданной параметрически

Пусть ${\displaystyle \gamma (s)}$ — регулярная кривая в ${\displaystyle d}$ -мерном евклидовом пространстве , параметризованная её длиной ${\displaystyle s}$ . Тогда

${\displaystyle \kappa =|{\ddot {\gamma }}(s)|}$

называется кривизной кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle p=\gamma (s)}$ , здесь ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}(s)}$ обозначает вторую производную по ${\displaystyle s}$ . Вектор

${\displaystyle k={\ddot {\gamma }}(s)}$

называется вектором кривизны ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle p=\gamma (s)}$ .

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной ${\displaystyle \tau (s)={\dot {\gamma }}(s)}$ :

${\displaystyle k={\dot {\tau }}(s),}$

где одна точка над буквой означает первую производную по s.

Для кривой, заданной параметрически, в общем случае кривизна выражается формулой

${\displaystyle \kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}}$ ,

где ${\displaystyle \gamma '}$ и ${\displaystyle \gamma ''}$ соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора ${\displaystyle \gamma }$ в требуемой точке по параметру (при этом под ${\displaystyle \times }$ для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение , для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение , а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение ).

Связанные понятия

Величина, обратная кривизне кривой ( ${\displaystyle r=1/\kappa }$ ), называется радиусом кривизны ; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны . Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Кривые на плоскости

Для кривых на плоскости имеет место дополнительная формула, используемая в тех случаях, когда кривая задана не параметрически, а как геометрическое место точек , удовлетворяющих одному уравнению.

Пусть ${\displaystyle \gamma }$ — регулярная кривая на евклидовой плоскости с координатами ${\displaystyle (x,y)}$ , заданная уравнением ${\displaystyle F(x,y)=0}$ с дважды непрерывно дифференцируемой функцией ${\displaystyle F}$ . Тогда её кривизна в точке ${\displaystyle (x,y)}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle \kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

В частности, если кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x)}$ , её кривизна вычисляется по формуле

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.}$

Для того, чтобы кривая ${\displaystyle \gamma }$ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.

Ориентированная кривизна плоской кривой

Если кривая лежит в одной плоскости, её кривизне можно приписать знак. Такая кривизна часто называется ориентированной . Это можно сделать следующим образом: если при движении точки в сторону возрастания параметра вращение вектора касательной происходит против часовой стрелки, то кривизна считается положительной, если по часовой стрелке, — отрицательной. Ориентированная кривизна выражается формулой

${\displaystyle \kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3}}}={\frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.}$

Знак кривизны зависит от выбора параметризации и не имеет геометрического смысла. Геометрический смысл имеет изменение знака кривизны при переходе через некоторую точку (так называемая точка перегиба ) или сохранение знака на некотором участке (характер выпуклости кривой).

Механическая интерпретация

Интуитивно кривизну можно понимать с помощью следующей механической интерпретации

Предположим материальная точка движется вдоль плоской кривой. Тогда модуль нормальной составляющей ускорения ${\displaystyle a}$ равен

${\displaystyle a=\kappa \cdot v^{2},}$

где ${\displaystyle \kappa }$ — кривизна кривой, ${\displaystyle v}$ — скорость точки .

Заметим, что кривизна кривой используется как физическая величина , имеет размерность обратную к единице длины (в системе СИ, это 1/м).

Кривизна поверхности

Пусть ${\displaystyle \Phi }$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве .

Пусть ${\displaystyle p}$ — точка ${\displaystyle \Phi ,}$

${\displaystyle T_{p}}$ — касательная плоскость к ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p,}$

${\displaystyle n}$ — единичная нормаль к ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p,}$

а ${\displaystyle \pi _{e}}$ — плоскость, проходящая через ${\displaystyle n}$ и некоторый единичный вектор ${\displaystyle e}$ в ${\displaystyle T_{p}.}$

Кривая ${\displaystyle \gamma _{e},}$ получающаяся как пересечение плоскости ${\displaystyle \pi _{e}}$ с поверхностью ${\displaystyle \Phi ,}$ называется нормальным сечением поверхности ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p}$ в направлении ${\displaystyle e.}$ Величина

${\displaystyle \kappa _{e}=k\cdot n}$ ,

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение , а ${\displaystyle k}$ — вектор кривизны ${\displaystyle \gamma _{e}}$ в точке ${\displaystyle p}$ , называется нормальной кривизной поверхности ${\displaystyle \Phi }$ в направлении ${\displaystyle e}$ . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой ${\displaystyle \gamma _{e}}$ .

В касательной плоскости ${\displaystyle T_{p}}$ существуют два перпендикулярных направления ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера :

${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha }$

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между этим направлением и ${\displaystyle e_{1}}$ , a величины ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ нормальные кривизны в направлениях ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ , они называются главными кривизнами , а направления ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ — главными направлениями поверхности в точке ${\displaystyle p}$ . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена .

Величина

${\displaystyle H=\kappa _{1}+\kappa _{2}}$

называется средней кривизной поверхности. (Иногда используется другое определение: ${\displaystyle H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}}$ . )

Величина

${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}}$

называется гауссовой кривизной или полной кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

• Аффинная кривизна
• Дифференциальная геометрия кривых
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Кривизна римановых многообразий
• Поверхность
• Тензор кривизны
• Форма кривизны

Литература

• Виленкин Н. (рус.) // Квант. — 1992. — № 4 . — С. 2-9, 15 .
• Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 128 с. — ISBN 5-93972-020-X .
• Погорелов А. В. М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
• Табачников С. Л. // Квант . — 1989. — № 5 . — С. 15-21, 42 .

Примечания