Тангенциальный треугольник (от лат. tangens — касательный) — конструкция, дающая новый треугольник по данному треугольнику.

Если вокруг данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ описать окружность, то треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ образованный тремя прямыми касательными к окружности проведёнными через вершины ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ называется тангенциальным.

Координаты вершин

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника

${\displaystyle A'=-a:b:c}$

${\displaystyle B'=a:-b:c}$

${\displaystyle C'=a:b:-c}$

Свойства

• Стороны тангенциального треугольника ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника .
• Вписанная в тангенциальный треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ окружность является описанной окружностью по отношению к данному треугольнику ${\displaystyle \triangle ABC}$ .
• И обратно: центр вписанной в тангенциальный треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ .
• Связь между углами тангенциального треугольника и данного треугольника ΔABC

  ${\displaystyle \ A'=\pi -2A;}$ ${\displaystyle \ B'=\pi -2B;}$ ${\displaystyle \ C'=\pi -2C.}$

• Для данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ его тангенциальный треугольник ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ и ортотреугольник ${\displaystyle \triangle A''B''C''}$ подобны.
• Площадь данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ равна среднему геометрическому между площадями тангенциального треугольника и ортотреугольника .
• Площадь тангенциального треугольника равна :

  ${\displaystyle S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ ; ${\displaystyle a,b,c}$ — его соответствующие стороны. Или

${\displaystyle S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|}$

• Стороны тангенциального треугольника равны

  ${\displaystyle a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}}$

  ${\displaystyle b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

  ${\displaystyle c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).

Замечательные точки

Следующая таблица даёт соответствие замечательных точек тангенциального треугольника с центрами исходного треугольника. X _n означает индекс замечательной точки в списке Кимберлинга .

X n	Центр тангенциального треугольника	X n	Центр исходного треугольника
X 2	центроид треугольника	X 154	X 3 чева-сопряженная точка к X 6
X 3	центр описанной окружности	X 26	центр описанной окружности тангенциального треугольника
X 4	ортоцентр	X 155	собственный центр ортотреугольника
X 5	центр девяти точек	X 156	X 5 тангенциального треугольника
X 6	точка пересечения симедиан	X 157	X 6 тангенциального треугольника
X 30	бесконечная точка прямой Эйлера	X 1154	изогональное сопряжение точки X 1141
X 523	изогональное сопряжение точки X 110	X 1510	кросс-разность точек Наполеона

См. также

• Ортотреугольник
• Подерный треугольник

Примечания

Литература

• Зетель С. И. . Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е изд. — М. : Учпедгиз, 1962. — 153 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 38—39. — ISBN 5-94057-170-0 .