Множество Мейера или почти решётка – это относительно плотное множество точек в евклидовой плоскости или евклидовом пространстве большей размерности, такое что его разность Минковского с собой равномерно дискретна . Множества Мейера имеют несколько эквивалентных описаний и названы именем Ива Мейера , который ввёл их и начал изучать в контексте диофантовых приближений. В современное время множества Мейера больше известны как математическая модель квазикристаллов , однако работа Мейера предваряла открытие квазикристаллов более чем на десятилетие и полностью была вдохновлена вопросами теории чисел .

Определение и описание

Подмножество X метрического пространства относительно плотно, если существует число r , такое что для всех точек множества X расстояние до остальных точек X не превосходит r . Подмножество равномерно дискретно, если существует число ${\displaystyle \varepsilon }$ , такое что никакие две точки X не находятся ближе друг от друга, чем на расстоянии ${\displaystyle \varepsilon }$ . Когда множество относительно плотно и, одновременно, равномерно дискретно, оно называется множеством Делоне . Если X является подмножеством векторного пространства , его разность Минковского ${\displaystyle X-X}$ – это множество ${\displaystyle \{x-y\mid x,y\in X\}}$ различных пар элементов множества X .

С этими определениями множество Мейера можно определить как относительно плотное множество X , для которого ${\displaystyle X-X}$ равномерно дискретно. Эквивалентно, это множество Делоне, для которого ${\displaystyle X-X}$ является множеством Делоне , или множество Делоне X , для которого существует конечное множество F , такое что ${\displaystyle X-X\subset X+F}$ .

Некоторые дополнительные эквивалентные описания используют множество

${\displaystyle X^{\varepsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leqslant \varepsilon {\text{ для всех }}x\in X\},}$

определённое для данного множества X и числа ${\displaystyle \varepsilon }$ и аппроксимирующее (при стремлению ${\displaystyle \varepsilon }$ к нулю) определение обратной решётки . Относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда

• Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0,X^{\varepsilon }}$ относительно плотно, или, эквивалентно,
• Существует ${\displaystyle \varepsilon }$ ( ${\displaystyle 0<\varepsilon <1/2}$ ), для которого ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ относительно плотно .

Характер замкнутого по сложению подмножества векторного пространства – это функция, отображающая множество в единичную окружность на плоскости комплексных чисел таким образом, что сумма любых двух элементов отображается в произведение их образов. Множество X является , если для любого характера ${\displaystyle \chi }$ на аддитивном замыкании X и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует непрерывный характер на всём пространстве, ${\displaystyle \varepsilon }$ -аппроксимирующий ${\displaystyle \chi }$ . Тогда относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда оно гармонично .

Примеры

Множествами Мейера являются

• Точки любой решётки
• Вершины плиток ромбической мозаики Пенроуза .
• Сумма Минковского другого множества Мейера с любым непустым конечным множеством
• Любое относительно плотное подмножество другого множества Мейера .

Примечания

Литература