Удлинённый квадратный гиробикупол или псевдо ромбокубооктаэдр (по Залгаллеру — удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол ) — один из многогранников Джонсона ( J ₃₇ = (по Залгаллеру ) М ₅ +П ₈ + М ₅ ); один из двух , другой — большой псевдоромбокубооктаэдр . Тело, обычно, не считается архимедовым телом , хотя его грани и являются правильными многоугольниками и многоугольники вокруг каждой вершины те же самые, но, в отличие от 13 архимедовых тел, многогранник не обладает глобальной симметрией, переводящей любую вершину в любую другую (хотя Грюнбаум предлагал добавить многогранник к традиционному списку архимедовых тел в качестве 14-го тела).

Тело, возможно, было открыто Иоганном Кеплером в его перечислении архимедовых тел, но первое ясное появление многогранника в печати было в работе в 1905 . Многогранник был независимо переоткрыт в 1930 (по ошибке, когда он пытался построить модель ромбокубооктаэдра , а затем его переоткрыл В. Г. Ашкинузе в 1957 .

Многогранник Джонсона — это один из 92 строго выпуклых многогранников , имеющих правильные грани, но не являющийся однородным (то есть он не правильный , не архимедов , не призма или антипризма ). Название многограннику дал , который первым перечислил эти многогранники в 1966 .

Построение и связь с ромбокубоктаэдром

Как показывает название, многогранник может быть построен как удлинение ( J ₂₉ = М ₅ + М ₅ ) со вставкой восьмиугольной призмы между двумя половинками.

Ромбокубооктаэдр

Разобранный на секции ромбокубооктаэдр

Псевдоромбокубооктаэдр

Тело можно рассматривать также как результат поворота одного из квадратных куполов ( J ₄ = М ₅ ) ромбокубооктаэдра (который является одним из архимедовых тел и который известен как удлинённый квадратный ортобикупол) на 45 градусов. Таким образом, многогранник является повёрнутым ромбокубооктаэдр ом, откуда тело получило второе название — псевдоромбокубооктаэдр. Иногда о нём говорят как о «четырнадцатом архимедовом теле».

Это свойство не имеет место для пятиугольного двойника, повёрнутого ромбоикосододекаэдра.

Симметрии и классификация

Удлинённый квадратный гиробикупол обладает симметрией D _4d . Тело локально вершинно однородно — расположение четырёх граней, смежных любой вершине, то же самое, что и у других вершин. Это свойство уникально среди тел Джонсона. Однако многогранник не вершинно транзитивен , а следовательно, не считается (как правило) архимедовым телом , поскольку существует пара вершин, которые не переходят одна в другую изометрией. По существу, можно различить два вида вершин по «соседям их соседей.» Другой путь увидеть, что многогранник не вершинно транзитивен — обратить внимание на то, что существует только один пояс из восьми квадратов по экватору. Если выкрасить грани согласно симметрии D _4d , получим:

pseudorhombicuboctahedron		( двойственный )
развёртка

Есть 8 (зелёных) квадратов вдоль экватора, 4 (красных) треугольника и 4 (жёлтых) квадрата над и под экватором и по одному (синему) квадрату на каждом полюсе.

Связанные многогранники и соты

Удлинённый квадратный гиробикупол может образовать заполняющие пространство соты совместно с правильным тетраэдром , кубом и кубооктаэдром . Он также образует другие соты с тетраэдром, квадратной пирамидой и различными комбинациями кубов, удлинённых четырёхугольных пирамид и удлинённых четырёхугольных бипирамид .

является невыпуклым аналогом псевдоромбокубооктаэдра , он построен аналогичным образом из .

В химии

Ион поливанадата [ V ₁₈ O ₄₂ ] ¹²⁻ имеет псевдоромбокубооктаэдральную структуру, в которой каждая квадратная грань действует как основание пирамиды VO ₅ .

Примечания

Литература

• Branko Grünbaum . An enduring error (англ.) // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64 , iss. 3 . — P. 89–101 . — doi : . Перепечатано в
  • (англ.) / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. –31.
• D. M. Y. Sommerville. Semi-regular networks of the plane in absolute geometry (англ.) // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1905. — Vol. 41 . — P. 725–747 . — doi : . . Как цитировано у Грюнбаума (( )).
• W.W. Rouse Ball, H. S. M. Coxeter. Mathematical recreations and essays (англ.) . — American edition. — New York: The Macmillan Company, 1947. — P. 137.
• Norman W. Johnson. (англ.) // . — 1966. — Vol. 18 . — P. 169–200 . — doi : .
• , Alan Earnshaw. Chemistry of the Elements (англ.) . — 2nd. — Butterworth-Heinemann, 1997. — ISBN 0-08-037941-9 .

Дополнительная литература

• Anthony Pugh (1976), Polyhedra: A visual approach , California: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms, p. 25 Pseudo-rhombicuboctahedron

Ссылки

• Eric W. Weisstein ( )