Interested Article - Теорема Александрова о развёртке

Теорема Александрова о развёртке — теорема о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с данной развёрткой, доказанная Александром Даниловичем Александровым . Единственность в этой теореме является обобщением теоремы Коши о многогранниках и имеет схожее доказательство.

Обобщение этой теоремы на произвольные метрики на сфере сыграло ключевую роль в становлении и развитии Александровской геометрии . Другое доказательство, основанное на деформации трёхмерного многогранного пространства , было предложено в его кандидатской диссертации 1955 года.


Формулировка

Многогранная метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого многогранника тогда и только тогда, когда сумма углов при любой её вершине не превосходит . Более того, многогранник определяется метрикой на своей поверхности с точностью до конгруэнтности.

При этом допускается, что многогранник вырождается в плоский многоугольник, в этом случае поверхность многогранника определяется как удвоение многоугольника в его границе, то есть две копии многоугольника склеенные по соответствующим точкам границы.

Замечания

Развёртка октаэдра из четырёх шестиугольников.
  • В оригинальной формулировке Александров пользуется понятием развёртки многогранника на плоскости, то есть набора плоских многоугольников и правил склейки этих многоугольников в многогранную метрику. Одну из таких развёрток можно получить из набора всех граней многогранника с естественным правилом склейки. Однако в общем случае многоугольники развёртки могут перекрываться с несколькими гранями; смотри рисунок.

Вариации и обобщения

  • (Теорема Александрова) Внутренняя метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова . При этом допускается, что тело вырождается в плоскую фигуру, в этом случае поверхность фигуры определяется как её удвоение.
    • (Теорема Погорелова) Более того, выпуклое тело определяется однозначно с точностью до конгруэнтности.
    • (Теорема Оловянишникова) Полная метрика на плоскости изометрична поверхности выпуклого множества только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Более того конус на бесконечности можно задать произвольно при условии, что его граница изометрична конусу на бесконечности .

См. также

Примечания

  1. А. Д. Александров , Выпуклые многогранники . М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
  2. Ю. А. Волков. // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2018. — Т. 476 . — С. 50—78 .

Литература

  • Н. Лебедева и А. Петрунин. .


Источник —

Same as Теорема Александрова о развёртке