Группа называется конечной ${\displaystyle p}$ -группой , если она имеет порядок , равный некоторой степени простого числа .

Основные свойства конечных p-групп

Пусть ${\displaystyle P}$ — конечная ${\displaystyle p}$ -группа, тогда

• P — нильпотентна .
• ${\displaystyle |Z(P)|>1}$ , где ${\displaystyle Z(P)}$ — центр группы P .
• Для любого ${\displaystyle 1\leq k<n}$ в ${\displaystyle P}$ существует нормальная подгруппа порядка ${\displaystyle p^{k}}$ .
• Если ${\displaystyle H}$ нормальна в ${\displaystyle P}$ , то ${\displaystyle |H\cap Z(P)|>1}$ .
• ${\displaystyle P'\leq \Phi (P)}$ .
• ${\displaystyle P/\Phi (P)\cong E_{p^{d}}}$ .

Некоторые классы конечных p-групп

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных ${\displaystyle p}$ -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса

Конечная ${\displaystyle p}$ -группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ называется группой максимального класса , если её ступень нильпотентности равна ${\displaystyle n-1}$ .

Если ${\displaystyle P}$ — конечная ${\displaystyle p}$ -группа максимального класса, то ${\displaystyle P'=\Phi (P)}$ и ${\displaystyle |Z(P)|=p}$ .

Единственными 2-группами порядка ${\displaystyle 2^{n}}$ максимального класса являются: диэдральная группа ${\displaystyle D_{2^{n}}}$ , обобщённая группа кватернионов ${\displaystyle Q_{2^{n}}}$ и полудиэдральная группа ${\displaystyle SD_{2^{n}}}$ .

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы

Конечная ${\displaystyle p}$ -группа называется ${\displaystyle p}$ -центральной , если ${\displaystyle \Omega _{1}(P)\leq Z(P)}$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной ${\displaystyle p}$ -группы.

Мощные p-группы

Конечная ${\displaystyle p}$ -группа называется мощной , если ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p}}$ при ${\displaystyle p\neq 2}$ и ${\displaystyle [P,P]\leq P^{4}}$ при ${\displaystyle p=2}$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию ${\displaystyle p}$ -центральной ${\displaystyle p}$ -группы.

Регулярные p-группы

Конечная ${\displaystyle p}$ -группа ${\displaystyle P}$ называется регулярной , если для любых ${\displaystyle x,y\in P}$ выполнено ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}}$ , где ${\displaystyle c\in P'}$ . Регулярными будут, например, все абелевы ${\displaystyle p}$ -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной .

• Любая подгруппа и факторгруппа регулярной ${\displaystyle p}$ -группы регулярна.
• Конечная ${\displaystyle p}$ -группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
• Конечная ${\displaystyle p}$ -группа порядка не большего ${\displaystyle p^{p}}$ является регулярной.
• Конечная ${\displaystyle p}$ -группа класс нильпотентности которой меньше ${\displaystyle p}$ является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при ${\displaystyle p>2}$ .
• Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных ${\displaystyle p}$ -групп порядка ${\displaystyle p^{n}}$

• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p}$ равно 1: группа ${\displaystyle C_{p}}$ .
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{2}}$ равно 2: группы ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ и ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}}$ .
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{3}}$ равно 5, из них три абелевы группы: ${\displaystyle C_{p^{3}}}$ , ${\displaystyle C_{p^{2}}\times C_{p}}$ , ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ и две неабелевы: при ${\displaystyle p>2}$ — ${\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}$ и ${\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}$ ; при p = 2 — ${\displaystyle D_{4}}$ , ${\displaystyle Q_{8}}$ .
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{4}}$ равно 15 при ${\displaystyle p>2}$ , число групп порядка ${\displaystyle 2^{4}}$ равно 14.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{5}}$ равно ${\displaystyle 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$ . Число групп порядка ${\displaystyle 2^{5}}$ равно 51, число групп порядка ${\displaystyle 3^{5}}$ равно 67.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{6}}$ равно ${\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$ . Число групп порядка ${\displaystyle 2^{6}}$ равно 267, число групп порядка ${\displaystyle 3^{6}}$ равно 504.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{7}}$ равно ${\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)}$ при ${\displaystyle p>5}$ . Число групп порядка ${\displaystyle 2^{7}}$ равно 2328, число групп порядка ${\displaystyle 3^{7}}$ равно 9310, число групп порядка ${\displaystyle 5^{7}}$ равно 34297.

p-группы порядка ${\displaystyle p^{n}}$ , асимптотика

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотически равно ${\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}}$ .

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Для групп ${\displaystyle p}$ - автоморфизмов конечной ${\displaystyle p}$ -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

• Пусть ${\displaystyle P}$ является нециклической ${\displaystyle p}$ -группой порядка ${\displaystyle |P|\geq p^{3}}$ , тогда ${\displaystyle |P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|}$ .

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса ${\displaystyle p}$ -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более ${\displaystyle p^{7}}$ , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка ${\displaystyle q}$ нильпотентна.

• Пусть группа ${\displaystyle P}$ обладает регулярным автоморфизмом простого порядка ${\displaystyle q}$ . Тогда её класс нильпотентности равен ${\displaystyle cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}}$ .

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: ${\displaystyle cl(P)<q^{q}}$ (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с ${\displaystyle m}$ образующими и периодом ${\displaystyle n}$ (то есть все её элементы ${\displaystyle x}$ удовлетворяют соотношению ${\displaystyle x^{n}=1}$ ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через ${\displaystyle B(m,n)}$ . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её факторгруппами. Действительно, как легко показать группа ${\displaystyle B(m,2)}$ является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы ${\displaystyle B(m,3)}$ равен ${\displaystyle 3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}}$ . Однако, как показали Новиков и Адян, при ${\displaystyle m\geq 2}$ и при любом нечётном ${\displaystyle n\geq 4381}$ группа ${\displaystyle B(m,n)}$ бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных ${\displaystyle m}$ -порождённых групп периода ${\displaystyle n}$ ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым . Для конечных ${\displaystyle p}$ групп она означает, что существует лишь конечное число ${\displaystyle p}$ групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы

Классификация нерегулярных p-групп порядка ${\displaystyle p^{p+1}}$ .

Литература

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М. : Наука , 2000.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7 .
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М. , 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки

• Система GAP .