Характеристическая подгруппа — подгруппа , инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Связанные определения

• Если образ подгруппы при действии любого эндоморфизма лежит внутри подгруппы, то подгруппа называется вполне характеристической . Ясно, что любая вполне характеристическая группа является характеристической.
• Любая группа имеет 2 характеристических подгруппы, называемых тривиальными : саму группу и единичную подгруппу. Группа, не имеющая нетривиальных характеристических подгрупп, называется элементарной .

Примеры

• Центр группы
• Коммутант группы
• Норма группы

Свойства

• Всякая характеристическая подгруппа является нормальной (так как сопряжение является автоморфизмом), обратное, вообще говоря, неверно. Если группа автоморфизмов группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} G}$ совпадает с группой внутренних автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Int} G,}$ то любая нормальная подгруппа группы является характеристической.
• Свойство «быть характеристической подгруппой» транзитивно, то есть если A характеристична (вполне характеристична) в B , а B характеристична (вполне характеристична) в C , то A характеристична (вполне характеристична) в C .
• Пересечение характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.
• Подгруппа, порожденная множеством характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.

Литература

• Курош А. Г. — М.: Наука, 1967.