Interested Article - Неравенство Карлемана

Нера́венство Ка́рлемана — математическое неравенство , названное в честь шведского математика Торстена Карлемана , который в 1923 году опубликовал и доказал данное неравенство . Неравенство Карлемана можно рассматривать как вариацию классического неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим . Карлеман использовал это неравенство, чтобы доказать теорему Данжуа — Карлемана о квазианалитических функциях .

Формулировка

Пусть $\{a_{1},a_{2},a_{3}\dots \}$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел . Тогда имеет место неравенство:

\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}}\leqslant e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.

Коэффициент е (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, то есть неравенство не всегда выполняется, если е заменить на меньшее число. Неравенство становится строгим (со знаком «меньше», а не «меньше или равно»), если хотя бы одно $a_{n}$ не равно нулю .

Интегральная версия

У неравенства Карлемана существует интегральная версия, пригодная для любой неотрицательной функции $f(x)$ :

\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{x}\ln f(t)dt\right\}dx\leqslant e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx

Неравенство Карлесона

В 1954 году Леннарт Карлесон предложил обобщение интегрального неравенства Карлемана :

Пусть $g(x)$ — выпуклая функция , причём $g(0)=0.$ Тогда для любого числа $p>-1$ имеет место неравенство:

\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leqslant e^{p+1}\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.

Неравенство Карлемана получается из неравенства Карлесона при $p=0.$

Доказательство

Элементарное доказательство в общих чертах описано ниже. Применим классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к последовательности $1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},3\cdot a_{3}\dots$ :

M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})=M_{geom}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}\leqslant M_{arithm}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}

где $M_{geom}$ означает среднее геометрическое , а $M_{arithm}$ — среднее арифметическое . Далее выпишем неравенство, полученное из формулы Стирлинга :

n!\geqslant {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}

или, заменив $n$ на $n+1$ :

(n!)^{-1/n}\leqslant {\frac {e}{n+1}}

для любого

n\geqslant 1.

Отсюда:

M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant {\frac {e}{n(n+1)}}\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,

или:

\sum _{n\geqslant 1}M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant \,e\,\sum _{k\geqslant 1}{\bigg (}\sum _{n\geqslant k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\sum _{k\geqslant 1}\,a_{k}\,,

что завершает доказательство.

Можно также вывести неравенство Карлемана из неравенства Харди :

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}

для неотрицательных чисел $a_{n}$ и $p>1$ ; для этого надо заменить $a_{n}$ на $a_{n}^{1/p}$ и устремить $p$ к бесконечности.

Примечания

T. Carleman . Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.
Duncan, John. (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 2003. — Vol. 110 , no. 5 . — P. 424—431 . — doi : .
Pečarić, Josip. Carleman's inequality: history and new generalizations (англ.) // (англ.) ( : journal. — 2001. — Vol. 61 , no. 1—2 . — P. 49—62 . — doi : .
, теорема 334.
Carleson, L. (англ.) // Proc. Amer. Math. Soc. : journal. — 1954. — Vol. 5 . — P. 932—933 . — doi : . 26 июля 2018 года.

Литература

Xapди Г. Г. , Литтлвуд Д. Е. , Полиа Д. Неравенства = Inequalities. — М. : КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6 .
Rassias, Thermistocles M., editor. Survey on classical inequalities (неопр.) . — Kluwer Academic , 2000. — ISBN 0-7923-6483-X . CS1 maint: Extra text: authors list (link) Rassias, Thermistocles M., editor. Survey on classical inequalities (неопр.) . — Kluwer Academic , 2000. — ISBN 0-7923-6483-X .
Hörmander, Lars. The analysis of linear partial differential operators I: distribution theory and Fourier analysis, 2nd ed (англ.) . — (англ.) ( , 1990. — ISBN 3-540-52343-X .