Interested Article - Неравенство Харди

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство , названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди . Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди , посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядах .

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой части .

Пусть $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел , не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа $p>1$ имеет место неравенство:

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.

Константа справа $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$ является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполняться .

Интегральная версия

Если $f(x)$ — неотрицательная интегрируемая функция , то :

\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.

Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ почти всюду равна нулю .

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана .

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщения .

Примечания

Hardy, G. H. Note on a theorem of Hilbert (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1920. — Vol. 6 , no. 3—4 . — P. 314—317 . — doi : .
Гильберта неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1977. — Т. 1. — С. 967—968.
, теорема 315 и далее.
, примечание к теореме 327.
, теорема 326 и далее.
↑ , теорема 327.
.
Ruzhansky, Michael. . — ISBN 978-3-030-02894-7 , 3-030-02894-1.

Литература

Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, 1977, 456 с.
Xapди Г. Г. , Литтлвуд Д. Е. , Полиа Г. Неравенства = Inequalities. — М. : КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6 .
Харди неравенство // . — М. : Советская Энциклопедия , 1985. — Т. 5. — С. 772—773.
Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Weighted inequalities of Hardy type (неопр.) . — World Scientific Publishing , 2003. — ISBN 981-238-195-3 .
Masmoudi, Nader (2011), "About the Hardy Inequality", An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 {{ citation }} : Неизвестный параметр |editors= игнорируется ( |editor= предлагается) ( справка ) CS1 maint: Uses editors parameter (link) Masmoudi, Nader (2011), "About the Hardy Inequality", An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 {{ citation }} : Неизвестный параметр |editors= игнорируется ( |editor= предлагается) ( справка ) .