Эудже́нио Бельтра́ми ( итал. Eugenio Beltrami ; 16 ноября 1835 , Кремона — 18 февраля 1900 , Рим ) — итальянский математик , ученик Франческо Бриоски . Член Национальной Академии деи Линчеи (с 1873 года), Туринской и Болонской академий наук , член-корреспондент множества иностранных академий. За поддержку и развитие идей Н. И. Лобачевского получил звание почётного доктора Казанского университета .

Научное наследие Бельтрами чрезвычайно глубоко и обширно (более 140 публикаций). Наиболее известен своими работами по дифференциальной геометрии , основаниям геометрии и математической физике . Нашёл наглядное доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского , что сыграло значительную роль в признании неевклидовой геометрии и облегчило в дальнейшем принятие новых идей в математике и физике .

Биография

Родился в Кремоне в 1835 году (тогда этот город был частью Австрийской империи ) в семье художника-кремонца Эудженио Бельтрами и венецианки Элизы Бароцци. Мать привила ему на всю жизнь любовь к музыке, укрепившуюся благодаря дружбе с композитором Амилькаре Понкьелли .

Учился математике в Павийском университете (1853—1856) у Франческо Бриоски , далее из-за финансовых трудностей ему пришлось приостановить учебу и устроиться на работу (секретарём в железнодорожной компании Ломбардия—Венеция) .

В 1861 году почти все итальянские провинции объединились в Королевство Италии , несколько лет спустя Австрия была вынуждена уступить Италии Венецианскую область . Эти события оживили академическую среду в Италии, три четверти населения которой было неграмотно, причём большинство из них было занято в сельском хозяйстве .

Уже в 1862 году Бельтрами опубликовал свою первую статью, которая привлекла внимание итальянской математической общественности. На помощь Бельтрами пришёл его учитель Бриоски, к тому времени ставший генеральным секретарём Министерства образования Италии. Бельтрами получил приглашение в Болонский университет в качестве экстраординарного профессора алгебры и аналитической геометрии . Для повышения квалификации он провёл несколько месяцев в астрономической обсерватории Скиапарелли в Брере ( Милан ) .

Проведя полтора года в Болонье, Бельтрами принял кафедру геодезии в Пизанском университете , где преподавал ещё два года (1864—1866). В Пизе он подружился с Энрико Бетти и познакомился с Бернхардом Риманом , который провёл в Италии свои последние годы по состоянию здоровья . Во второй половине XIX века в Италии, под влиянием идей Гаусса и Римана, образовалась авторитетная и плодотворная геометрическая школа — кроме Эудженио Бельтрами и Энрико Бетти, в неё входили Луиджи Кремона , Грегорио Риччи-Курбастро , Туллио Леви-Чивита , Луиджи Бьянки , Дельфино Кодацци , Эрнесто Чезаро , Гвидо Фубини и другие.

В 1866 году Бельтрами вернулся в Болонью, где был назначен профессором механики. В 1868 году он опубликовал два трактата: «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» и «Основы теории пространств постоянной кривизны». Эти публикации, вскоре переведенные на французский и немецкий, сыграли решающую роль в обретении геометрией Лобачевского легального научного статуса .

После воссоединения Папской области с Италией (1871 год) он перешёл на ту же должность в Римском университете (1873—1876). В 1873 году принят в члены Национальной Академии деи Линчеи в Риме, с 1898 года, сменив Бриоски, он стал президентом этой Академии.

После трёх лет в Риме Бельтрами переехал в Павию (1876—1891), где занял кафедру математической физики . Затем Бельтрами вернулся в Рим и преподавал там до конца жизни . В 1899 году он стал сенатором Королевства Италии . Скончался в 1900 году.

Научная деятельность

Исследования Бельтрами охватывают широкий спектр разделов математики. Он внёс существенный вклад в дифференциальную геометрию , основания геометрии , математическую физику , математический анализ и общую алгебру . В начале своего научного творчества он занимался преимущественно геометрией, затем, после переезда в Рим (1871) — математической физикой. Историки отмечают в трудах Бельтрами неизменно ясный и элегантный стиль изложения.

Основания геометрии

Наибольшее влияние для математики имело опубликованное Бельтрами доказательство непротиворечивости неевклидовой геометрии , похоронившее все надежды доказать « пятый постулат » Евклида . До работ Бельтрами среди учёных господствовало мнение о том, что в мире возможна (и реальна) лишь одна геометрия — евклидова. Публикации Лобачевского и Бойяи остались незамеченными, а Гаусс так и не решился обнародовать свои исследования на эту тему. Бельтрами убедительно показал, что у классической геометрии существует полноценная альтернатива. Вскоре этот факт стал общепризнанным и произвёл огромное впечатление на весь научный мир. Он также стимулировал переоценку многих устоявшихся стереотипов в математике и физике .

Бельтрами опубликовал трактаты «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868) и «Основы теории пространств постоянной кривизны» (1868—1869), В них он доказал, что внутренняя геометрия поверхностей постоянной отрицательной кривизны совпадает с геометрией Лобачевского . Другими словами, геометрия Лобачевского на плоскости локально реализуется на некоторой поверхности в трёхмерном пространстве, называемой псевдосферой или « поверхностью Бельтрами ». Эта поверхность имеет постоянную отрицательную кривизну . Во второй из указанных статей Бельтрами распространил свою теорию на пространства постоянной кривизны произвольной размерности.

Бельтрами первым построил проективную модель («модель Бельтрами — Клейна») и конформно-евклидову модель геометрии Лобачевского. С этого момента геометрия Лобачевского получила общее признание . Модель Бельтрами — Клейна стала одним из первых примеров использовании интерпретации для доказательства непротиворечивости исследуемой теории .

Сам Бельтрами значение неевклидовой геометрии для науки оценил следующим образом .

В последнее время математический мир начал заниматься новыми идеями, которым, по-видимому, суждено в случае, если они восторжествуют, глубоко изменить все основы классической геометрии… Мы старались, насколько позволяли наши силы, дать себе отчёт о результатах, к которым приводит учение Лобачевского, и затем, следуя приёму, вполне, по нашему мнению, согласному с хорошими традициями научного исследования, мы попытались отыскать реальное основание для этого учения, прежде всего, чтобы признать этим самым необходимость нового порядка вещей и идей.

В дальнейшем Бельтрами исследовал возможность реального существования неевклидовой геометрии; например, он исследовал, как может быть модифицирован ньютоновский гравитационный потенциал (и некоторые другие физические понятия) в пространстве отрицательной кривизны — в частности, чтобы не возникал гравитационный парадокс :.

Геометрия

Бельтрами исследовал общие свойства поверхностей минимальной площади, а также их обобщение — поверхности с постоянной средней кривизной . Получил важные результаты в области теории инвариантов дифференциальных квадратичных форм . В частности, в статье Ricerche di analisi application alla Geometria впервые приводится полное описание инвариантов изгибания поверхности, которые он называл «абсолютными функциями». Эта работа положила начало развитию топологии .

Показал, что любую линейчатую поверхность можно единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической (это утверждение известно как теорема Бельтрами ) .

Доказал теорему Бельтрами — Эннепера — свойство асимптотических линий поверхностей отрицательной кривизны .

Участвовал в разработке итальянской школой геометров основ тензорного анализа .

Другие темы

Предложил (1864) метод решения волнового уравнения с тремя пространственными переменными.

В 1873 году Бельтрами и (независимо, годом позже) Камиль Жордан обнаружили, что сингулярное разложение билинейной формы , представленное матрицей, образует полный набор инвариантов для билинейных форм.

Начиная с 1871 года, занимался исследованиями в теории аналитических функций и в проблемах механики. Изучал кинематику жидкости , теорию потенциала . Также работал над проблемами оптики , термодинамики , теории упругости , электромагнетизма . Его вклад в эти темы собран в четырёхтомном труде Opere Matematiche (1902—1920), опубликованном посмертно.

Благодаря работе Бельтрами 1889 года по истории неевклидовой геометрии пионерские работы Саккери стали широко известны и получили заслуженную оценку.

Память

В честь учёного названы:

• астероид 15620 ;
• модель Бельтрами — Клейна ;
• поверхность Бельтрами (псевдосфера);
• оператор Лапласа — Бельтрами ;
• теорема Бельтрами — Эннепера ;
• ;
• в теории упругости .

Награды

Орден Короны Италии

Орден Святых Маврикия и Лазаря

Савойский гражданский орден

Избранные труды

• Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette, in Annali di matem. pura ed applicata, s. i VII (1865), pp. 185-204.
• Ricerche di analisi applicata alla geometria, pubblicate in varie riprese, in Giornale di matem. del Battaglini, II (1864), pp. 267-282, 297-306, 331-339, 355-375; III (1865), pp. 15-22, 33-41, 82-91, 228-240, 311-314.
• Sulle proprietà generali delle superfici di area minima, in Mem. d. Accad. d. scienze di Bologna, s. 2, VII (1867), pp. 412-481.
• Beltrami, Eugenio (1868). (PDF) . Giornale di Mathematiche . 4 : 285—315.
• Beltrami, Eugenio (1868). . Annali di Matematica Pura ed Applicata . Series II. 2 : 232—255. doi : .
• Sulla teoria delle linee geodetiche, in Rendic. d. R. Ist. lombardo, s. 2, I (1868), pp. 708-718.
• Sulla teoria generale dei parametri differenziali, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 2, VIII (1868), pp. 551-590.
• : [ итал. ] . — Bologna, 1884.
• Ricerche sulla cinematica dei fluidi, in Mem. d. Acc. d. scienze di Bologna, s. 3, I (1871), pp. 431-476; II (1872), pp. 381-437; III (1873), pp. 349-407; IV (1874), pp. 443-484.
• Formules fondamentales de cinématique dans les espaces de courbure constante, in Bulletin des sciences mathematiques et astronomiques, XI (1876), pp. 233-240.
• Ricerche di geometria analitica, Mem. d. Acc. di scienze di Bologna, s. 3, X (1879), pp. 233-312

Четырёхтомный сборник трудов Бельтрами (посмертное издание Римского университета, в первом томе имеется биография Бельтрами):

• U. Hoepli. . — Milano: Università di Roma, 1902—1920. — Т. I—IV. .

Русские переводы

• Бельтрами Э. Опыт интерпретации неевклидовой геометрии // Об основаниях геометрии : Сборник. — М. : ГИТТЛ, 1956. — С. 180—212 .
• Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны // Об основаниях геометрии : Сборник. — М. : ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365 .

Примечания

Литература

• Боголюбов А. Н. Бельтрами Эудженио // Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — С. 37—38. — 639 с.

Ссылки

• (итал.) . Dizionario-Biografico . Дата обращения: 15 июля 2021.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .