Оператор замыкания — обобщение интуитивной концепции замыкания. Именно: если ${\displaystyle \langle P,\leqslant \rangle }$ — частично упорядоченное множество , оператор ${\displaystyle C:P\to P}$ будет называться оператором замыкания, если выполнены три условия:

• ${\displaystyle x\leqslant C(x)}$ ( ),
• ${\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow C(x)\leqslant C(y)}$ ( монотонность )
• ${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$ ( идемпотентность )

В роли множества ${\displaystyle P}$ часто выступает булеан некоторого другого множества ${\displaystyle S}$ ; примеры этого можно найти в топологии, алгебре и логике.

Элементы вида ${\displaystyle C(x)}$ называются замкнутыми , они образуют подмножество ${\displaystyle C(P)}$ в исходном частично упорядоченном множестве ${\displaystyle P}$ . Оператор замыкания полностью определяется множеством замкнутых элементов; а именно, замыкание элемента ${\displaystyle x\in P}$ — это наименьший замкнутый элемент, больший или равный данного:

${\displaystyle C(x)=\inf \lbrace c\in C(P):c\geq x\rbrace }$ .

Множество всех замкнутых элементов иногда называют муровским семейством в честь американского математика Элиакима Мура , исследовавшего замыкания в 1910 году . Некоторые частные случаи замыкания называют оболочкой (например, выпуклая оболочка или линейная оболочка ) — это позволяет избегать путаницы с понятием замкнутого множества .

Примеры операторов замыкания можно найти в самых разных областях математики:

В топологии изучается замыкание множества . Топологическое замыкание «уважает» конечное объединение множеств:

${\displaystyle C(X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=C(X_{1})\cup \dots \cup C(X_{n})}$ для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .

В частности, при ${\displaystyle n=0}$ эта формула превращается в ${\displaystyle C(\varnothing )=\varnothing }$ .

В алгебре и логике рассматривают операторы замыкания, обладающие свойством финитарности :

${\displaystyle C(X)=\bigcup _{Y\in {\mathcal {F}}(X)}C(Y)}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ — множество всех конечных подмножеств множества ${\displaystyle X}$ .

В универсальной логике примером замыкания является оператор следствия ( англ. consequence operator ).

Теоретическая информатика также очень широко применяет все наработки теории порядков в области операторов замыкания, включая определение на произвольных частично упорядоченных множествах.

Оператор замыкания в топологии

Замыкание множества ${\displaystyle X}$ в заданном топологическом пространстве состоит из тех точек пространства, любая окрестность которых имеет хотя бы одну общую точку с ${\displaystyle X}$ . Функция, сопоставляющая каждому подмножеству данного пространства его замыкание, является оператором топологического замыкания (в смысле, определённом выше). И наоборот, любой оператор топологического замыкания ${\displaystyle C:2^{S}\to 2^{S}}$ задаёт топологию на множестве ${\displaystyle S}$ , в которой множество ${\displaystyle X\subseteq S}$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно является элементом булеана ${\displaystyle 2^{S}}$ , замкнутым относительно оператора ${\displaystyle C}$ .

Фактически, — это система аксиом общей топологии, эксплуатирующая эту идею. Она выстраивает топологическую структуру , отталкиваясь от определения оператора топологического замыкания ${\displaystyle C}$ как экстенсивного идемпотентного оператора, обладающего свойством ${\displaystyle C(X\cup Y)=C(X)\cup C(Y)}$ .

Аксиома монотонности для оператора топологического замыкания является излишней, так как выводится из остальных аксиом.

Оператор замыкания в алгебре

Финитарное замыкание играет важную роль в универсальной алгебре , где традиционно называется алгебраическим замыканием . Любое подмножество ${\displaystyle X}$ алгебры ${\displaystyle A}$ определяет некоторую подалгебру: наименьшую из всех подалгебр, содержащих данное множество. Так вводится оператор замыкания на булеане ${\displaystyle 2^{A}}$ .

Возможно, наиболее известный пример такого оператора — функция, сопоставляющая набору векторов некоторого линейного пространства его линейную оболочку — подпространство, образованное данными векторами. Другой пример: функция, сопоставляющая некоторому подмножеству элементов группы порожденную ими подгруппу . Аналогичные примеры можно построить для полей , решёток и других видов алгебраических структур .

Операторы замыкания «линейная оболочка» и «наименьшее подполе, содержащее данное множество» обладают т. н. обменным свойством : если ${\displaystyle a}$ принадлежит замыканию ${\displaystyle X\cup \{b\}}$ , но не принадлежит замыканию множества ${\displaystyle X}$ , то ${\displaystyle b}$ принадлежит замыканию ${\displaystyle X\cup \{a\}}$ . Финитарное замыкание, обладающее этим свойством, называется матроидом . Размерность векторного пространства и степень трансцендентности поля (над его простым полем ) — это в точности ранг соответствующего матроида.

Функция, отображающее подмножество поля в его алгебраическое замыкание — тоже оператор финитарного замыкания, но отличающийся по своим свойствам от операторов, рассмотренных выше. Эти две разновидности замыкания изучаются в теории моделей , где они обозначаются ${\displaystyle \operatorname {dcl} }$ (от англ. definable closure ) и ${\displaystyle \operatorname {acl} }$ (от англ. algebraic closure ).

Выпуклая оболочка в евклидовом пространстве представляет ещё один пример финитарного замыкания. Этот оператор обладает антиобменным свойством : если ${\displaystyle a}$ не принадлежит множеству ${\displaystyle X\cup \{b\}}$ , но принадлежит его замыканию, то ${\displaystyle b}$ не принадлежит замыканию ${\displaystyle X\cup \{a\}}$ . Финитарные замыкания с этим свойством приводят к понятию .

Оператор замыкания в логике

Рассмотрим некоторый логический формализм , который позволяет, следуя определённым правилам, выводить новые формулы из имеющихся. Пусть ${\displaystyle F}$ обозначает множество всех возможных формул, а ${\displaystyle P=2^{F}}$ — булеан этого множества, упорядоченный по включению. Для произвольного множества формул ${\displaystyle X}$ , обозначим ${\displaystyle C(X)}$ множество формул, выводимых из ${\displaystyle X}$ . Тогда ${\displaystyle C}$ — оператор замыкания, заданный на ${\displaystyle P}$ .

Более строго можно определить ${\displaystyle C}$ следующим образом. Пусть ${\displaystyle J:P\to P}$ — оператор дедуктивного шага в монотонной логике; иными словами, ${\displaystyle J(X)}$ — это множество формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо принадлежит ${\displaystyle X}$ , либо получена однократным применением какого-либо правила вывода к формулам из ${\displaystyle X}$ . Заметим, что для любого направленного класса ${\displaystyle T}$ выполняется равенство ${\displaystyle J(\lim T)=\lim J(T)}$ , следовательно, оператор ${\displaystyle J}$ непрерывен и к нему можно применить теорему о неподвижной точке . Тогда ${\displaystyle C(X)}$ определяется как наименьшая неподвижная точка ${\displaystyle J}$ , большая или равная ${\displaystyle X}$ . В соответствии с такой точкой зрения, Тарский , Браун и Сушко , а также другие авторы, предложили общий подход к математической логике , основанный на теории операторов замыкания. Та же идея нашла применение в логическом программировании и нечёткой логике .

Оператор следствия

Около 1930 г. Альфред Тарский разработал абстрактную теорию дедукции, моделирующую некоторые свойства логических исчислений. С математической точки зрения, он описал финитарное замыкание на множестве высказываний . В универсальной логике за этим замыканием закрепилось название, придуманное Тарским: оператор следствия ( англ. consequence operator ). Итак, пусть ${\displaystyle S}$ — множество всех возможных высказываний, его подмножество ${\displaystyle T}$ — теория; тогда ${\displaystyle C(T)}$ — это множество высказываний, которые являются логическим следствием теории ${\displaystyle T}$ . В настоящее время термин «оператор следствия» может применяться не только к финитарным операторам; в таком случае, если оператор всё же удовлетворяет условию финитарности, о нем говорят как об операторе конечного следствия ( англ. finite consequence operator ).

Замкнутые множества

Пусть оператор замыкания ${\displaystyle C}$ действует на булеане ${\displaystyle P=2^{S}}$ . Семейство замкнутых подмножеств ${\displaystyle C(P)}$ образует подмножество в ${\displaystyle P}$ . Любое пересечение множеств из ${\displaystyle C(P)}$ снова лежит в ${\displaystyle C(P)}$ , то есть ${\displaystyle C(P)}$ — нижняя подполурешётка в ${\displaystyle P}$ . Соответственно, если некоторое множество ${\displaystyle K\subseteq 2^{S}}$ замкнуто относительно произвольных (возможно, бесконечных) пересечений, то функция, сопоставляющая каждому подмножеству ${\displaystyle X\subseteq S}$ наименьшее множество ${\displaystyle Y\in K}$ , содержащее ${\displaystyle X}$ , является оператором замыкания.

Оператор замыкания называется топологическим , если семейство замкнутых множеств замкнуто относительно конечных объединений, то есть если ${\displaystyle C(P)}$ образует подрешётку , полную относительно операции объединения. Даже если оператор ${\displaystyle C}$ не является топологическим, множество ${\displaystyle C(P)}$ всё равно обладает структурой решётки (с операциями ${\displaystyle \wedge }$ и ${\displaystyle \vee }$ , определёнными так: ${\displaystyle X\wedge Y=X\cap Y}$ , ${\displaystyle X\vee Y=C(X\cup Y)}$ ); но в этом случае ${\displaystyle C(P)}$ не является подрешёткой ${\displaystyle P}$ , так как операции на них не согласованы.

Если оператор замыкания финитарный , замыканиями конечных множеств являются множества ${\displaystyle C(P)}$ . Следовательно, ${\displaystyle C(P)}$ — (или «алгебраическая решётка», если учитывать, что на ${\displaystyle C(P)}$ действительно имеется структура решётки). И наоборот, если семейство замкнутых множеств является алгебраическим частично-упорядоченным множеством, то соответствующий оператор замыкания финитарный.

Общий случай: замыкание на частично упорядоченных множествах

Замыкания можно рассматривать не только на булеане, но и на любом частично упорядоченном множестве . Кроме приведённого выше определения оператора замыкания как экстенсивной монотонной идемпотентной функции, существует также ряд альтернативных определений. Например, три указанных аксиомы можно заменить одной:

${\displaystyle x\leq C(y)\Leftrightarrow C(x)\leq C(y)}$ для любых ${\displaystyle x,y\in P}$ .

Если считать, что между отображениями определено поточечное сравнение , то свойство экстенсивности оператора ${\displaystyle C:P\to P}$ можно кратко записать так:

${\displaystyle C\geq \operatorname {id} }$ , где ${\displaystyle \operatorname {id} }$ обозначает тождественную функцию .

Монотонное идемпотентное отображение ${\displaystyle I:P\to P}$ , обладающее двойственным свойством ${\displaystyle I\leq \operatorname {id} }$ , называется оператором ядра ( англ. kernel operator ), оператором внутренности ( англ. interior operator ) или двойственным замыканием ( англ. dual closure ). Пример такой функции — операция получения внутренности множества в топологии. Другой пример даёт функция округления , рассматриваемая как оператор на вещественных числах с естественным порядком: округление к меньшему ( англ. floor , ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ) — это оператор внутренности, а округление к большему ( англ. ceil , ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ ) — оператор замыкания. Ещё один пример: если ${\displaystyle S}$ — некоторое множество, и в нём зафиксировано произвольное подмножество ${\displaystyle T}$ , то ${\displaystyle \mu _{T}(X)=T\cap X}$ является оператором внутренности на булеане ${\displaystyle P=2^{S}}$ , а ${\displaystyle \lambda _{T}(X)=T\cup X}$ — оператором замыкания.

Неподвижная точка отображения ${\displaystyle C}$ , то есть элемент ${\displaystyle c\in P}$ , обладающий свойством ${\displaystyle C(c)=c}$ , называется замкнутым . Оператор замыкания на частично упорядоченном множестве полностью определяется множеством замкнутых элементов. Если элемент ${\displaystyle c}$ замкнут, то утверждение ${\displaystyle x\leq c}$ равносильно ${\displaystyle C(x)\leq c}$ .

Как объясняется в статье, посвящённой соответствию Галуа , всякое такое соответствие порождает оператор замыкания. Более того, любой оператор замыкания можно получить из некоторого соответствия Галуа . Построить подходящее соответствие Галуа можно не единственным образом; универсальный способ состоит в следующем. Пусть ${\displaystyle K}$ обозначает множество замкнутых элементов. Тогда ${\displaystyle C}$ можно рассматривать как отображение ${\displaystyle P\to K}$ ; это будет нижняя сопряжённая функция соответствия Галуа. В качестве верхней сопряжённой функции возьмём вложение ${\displaystyle K\to P}$ . Фактически, любая функция, являющаяся нижней сопряженной к вложению некоторого подмножества в ${\displaystyle P}$ , и есть замыкание: «Операторы замыкания суть нижние сопряженные к вложениям.» Однако не для каждого вложения существует нижняя сопряженная функция!

Всякое частично упорядоченное множество ${\displaystyle P}$ можно рассматривать как категорию , в которой стрелка ${\displaystyle x\to y}$ существует (и единственна) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\leq y}$ . В такой интерпретации операторы замыкания соответствуют монадам

Если ${\displaystyle P}$ — , то для того, чтобы подмножество ${\displaystyle K\subseteq P}$ было множеством замкнутых элементов какого-либо оператора ${\displaystyle C}$ , необходимо и достаточно , чтобы ${\displaystyle K}$ образовывало муровское семейство на ${\displaystyle P}$ , то есть множество, содержащее верхнюю границу ${\displaystyle P}$ и точную нижнюю грань любого подмножества множества ${\displaystyle K}$ . Любое такое ${\displaystyle K}$ само является полной решёткой, причём отношение порядка и нижняя операция (инфимум) наследуются из ${\displaystyle P}$ , а верхняя операция (супремум) может отличаться. Когда решётка ${\displaystyle P}$ введена как булева алгебра подмножеств некоторого множества ${\displaystyle S}$ , муровское семейство называют системой замыканий ( англ. closure system ) множества ${\displaystyle S}$ .

Операторы замыкания на полной решётке сами образуют полную решётку, отношение порядка на которой вводится поточечно: ${\displaystyle C_{1}\leq C_{2}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in P\;C_{1}(x)\leq C_{2}(x)}$ .

История

Понятие замыкания было введено Э. Г. Муром в монографии 1910 года Introduction to a Form of General Analysis . Концепция системы замкнутых подмножеств впервые была описана в работах Ф. Риса применительно к топологическим пространствам .

Cм. также

• Замыкание (геометрия) и Внутренность
• Замыкание отношения
• Соответствие Галуа

Примечания

Литература

• Birkhoff, G. Lattice Theory. — 3rd ed. — Providence, RI : American Mathematical Society, 1973. — vi, 418 p. — (American Mathematical Society Colloquium Publications ; vol. XXV). — ISBN 0-8218-1025-1 . — LCCN .
  [Русский перевод: Биркгоф, Г. Теория решеток. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 568 с. — 9400 экз. ]
• Blyth, T. S. Lattices and Ordered Algebraic Structures. — London : Springer-Verlag, 2005. — ix, 303 p. — (Universitext). — ISBN 1-85233-905-5 . — doi : . — LCCN .
• Brown, D. J. Abstract Logics / D. J. Brown, R. Suszko // Dissertationes Mathematicae. — 1973. — Vol. CII. — P. 9–41. — ISSN .
• Burris, S. A Course in Universal Algebra / S. Burris, H. P. Sankappanavar. — New York, NY : Springer-Verlag, 1981. — xvi, 276 p. — (Graduated Texts in Mathematics ; vol. 78). — ISBN 0-387-90578-2 . — LCCN .
  [Бесплатное электронное издание: Burris, S. / S. Burris, H. P. Sankappanavar. — The Millenium Edition, 2012 Update. — 2012. — xiv, 276 p. : 36 illus. — ISBN 978-0-9880552-0-9 . ]
• Castellini, G. Categorical Closure Operators : [ 30 декабря 2015 ]. — Boston, MA : Birkhäuser, 2003. — xii, 300 p. — (Mathematics: Theory & Applications). — ISBN 978-1-4612-6504-7 . — doi : .
• Edelman, P. H. Meet-distributive Lattices and the Anti-exchange Closure // Algebra Universalis. — 1980. — Vol. 10, no. 1. — P. 290–299. — ISSN . — doi : .
• Erné, M. A primer on Galois connections / M. Erné, J. Koslowski, A. Melton … [ et al. ] // Annals of the New York Academy of Sciences. — 1993. — Vol. 704 : Papers on General Topology and Applications. — P. 103–125. — ISSN . — doi : .
  [Электронные препринты:
  • Erné, M., et al. : [PS.GZ] / prep. by J. Koslowski // . — 1991/92.
  • Erné, M., et al. : [PS.GZ] / prep. by J. Koslowski // . — 1991/92.
  • Erné, M., et al. : [PS] / prep. by G. E. Strecker // . ]
• Gerla, G. Fuzzy Logic : Mathematical Tools for Approximate Reasoning. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2001. — xii, 269 p. — (Trends in Logic ; vol. 11). — ISBN 0-7923-6941-6 . — doi : .
• Gierz, G. Continuous Lattices and Domains / G. Gierz, K. H. Hoffman, K. Keimel … [ et al. ] . — New York, NY : Cambridge University Press, 2003. — xxxvi, 591 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications ; vol. 93). — ISBN 0-521-80338-1 .
• Lloyd, J. W. Foundations of Logic Programming. — 2nd ext. ed. — Berlin : Springer-Verlag, 1987. — xii, 212 p. — (Artificial Intelligence. Ser. Symbolic Computation). — ISBN 3-540-18199-7 . — ISBN 978-3-642-83191-1 . — doi : .
• Tarski, A. Fundamental Concepts of the Methodology of Deductive Sciences = Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften : [orig. 1930] // Logic, Semantics, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938 by Alfred Tarski / transl. by J. H. Woodger . — Oxford : Clarendon Press, 1956. — P. 60–109. — Zbl .
• Ward, M. The Closure Operators of a Lattice // Annals of Mathematics. — 1942. — Vol. 43, no. 2. — P. 191–196. — ISSN . — doi : . — JSTOR .

Ссылки

• Jansara, Ramon. / Edward N. Zalta (ed.) // . — Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2016. — 12 December.