Правильный n -мерный многогранник — многогранники n -мерного евклидова пространства , которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами .

История

Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли .

Определение

Флагом n -мерного многогранника ${\displaystyle P}$ называется набор его граней ${\displaystyle F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{n-1})}$ , где ${\displaystyle F_{i}}$ есть ${\displaystyle i}$ -мерная грань многогранника Р, причем ${\displaystyle F_{i}\subseteq F_{n-1}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$ .

Правильный n -мерный многогранник — это выпуклый n -мерный многогранник ${\displaystyle P}$ , у которого для любых двух его флагов ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F'}$ найдётся движение ${\displaystyle P}$ , переводящее ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle F'}$ .

Классификация

Размерность 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название	Изображение ( диаграмма Шлегеля )	Символ Шлефли	Ячейка	Число ячеек	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Пятиячейник		{3,3,3}	правильный тетраэдр	5	10	10	5
Тессеракт		{4,3,3}	куб	8	24	32	16
Шестнадцатиячейник		{3,3,4}	правильный тетраэдр	16	32	24	8
Двадцатичетырёхячейник		{3,4,3}	октаэдр	24	96	96	24
Стодвадцатиячейник		{5,3,3}	додекаэдр	120	720	1200	600
Шестисотячейник		{3,3,5}	правильный тетраэдр	600	1200	720	120

Размерности 5 и выше

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника ( политопа ):

Название	Символ Шлефли
n -мерный правильный симплекс	{3;3;...;3;3}
n -мерный гиперкуб	{4;3;...;3;3}
n -мерный гипероктаэдр	{3;3;...;3;4}

Геометрические свойства

Углы

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}}$ , определяется по формуле :

${\displaystyle \sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-1}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-2}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-3}}}}{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}}$

где ${\displaystyle \beta }$ — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы:

${\displaystyle r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },}$

где ${\displaystyle r_{N-1}}$ — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

${\displaystyle V_{N}={\frac {1}{N}}V_{N-1}A_{N-1}r_{N},}$

где ${\displaystyle V_{N-1}}$ — объём (N-1)-мерной грани, ${\displaystyle A_{N-1}}$ — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения

В размерности n = 4

В размерности n ≥ 5

• Гиперкубические соты

См. также

• Платоново тело
• Список правильных многогранников и соединений

Примечания

Ссылки

• (неопр.) (2003). Дата обращения: 30 января 2011. Архивировано из 4 мая 2012 года.

• Е. Ю. Смирнов. . — М. : МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2 .

• Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29 . — С. 147–259 .

Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2—10
	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / / E₈ / F₄ / G₂
Правильный многоугольник	Правильный треугольник	Квадрат	Правильный p-угольник	Правильный шестиугольник	Правильный пятиугольник
Однородный многогранник	Правильный тетраэдр	Правильный октаэдр • Куб	Полукуб		Правильный додекаэдр • Правильный икосаэдр
	Пятиячейник	16-ячейник • Тессеракт	Полутессеракт	24-ячейник	120-ячейник • 600-ячейник
	Правильный 5-симплекс	5-ортоплекс • 5-гиперкуб	5-полугиперкуб
	Правильный 6-симплекс	6-ортоплекс • 6-гиперкуб		•
	Правильный 7-симплекс	• 7-гиперкуб		• •
	Правильный 8-симплекс	• 8-гиперкуб		• •
	Правильный 9-симплекс	• 9-гиперкуб
	Правильный 10-симплекс	• 10-гиперкуб
Однородный n - политоп	Правильный n - симплекс	n - ортоплекс • n - гиперкуб	n - полугиперкуб	• •	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства политопов • • Список правильных политопов и их соединений