Interested Article - Ребро (геометрия)

Три ребра AB, BC и CA, каждое из которых соединяет две вершины треугольника .	Многоугольник, ограниченный рёбрами (в данном случае — квадрат , имеющий 4 ребра).
Каждое ребро является общим для двух граней многогранника , в данном случае, куба .	Любое ребро является общим для трёх и более граней четырёхмерного многогранника , как видно на этой проекции тессеракта .

Ребро в геометрии — отрезок , соединяющий две вершины многоугольника или многогранника (в размерностях 3 и выше) . В многоугольниках ребро является отрезком, лежащим на границе и чаще называется стороной многоугольника. В трёхмерных многогранниках и в многогранниках большей размерности ребро — это отрезок, общий для двух граней . Отрезок, соединяющий две вершины и проходящий через внутренние или внешние точки, ребром не является и называется диагональю .

Связь с рёбрами графа

Любой многогранник может быть представлен его рёберным , то есть графом, вершинами которого служат геометрические вершины многогранника, а рёбра графа соответствуют геометрическим рёбрам . И обратно, графы, являющиеся скелетами трёхмерных многогранников по теореме Штайница — то же самое, что вершинно k-связные планарные графы .

Число рёбер в многограннике

Любая поверхность выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

V-E+F=2,

где $V$ — число вершин , $E$ — число рёбер, а $F$ — число граней . Это равенство известно как формула Эйлера. Таким образом, число рёбер на 2 меньше суммы числа вершин и граней. Например, куб имеет 8 вершин и 6 граней, а потому (по формуле) 12 рёбер.

Инцидентность другим граням

В многоугольнике в каждой вершине сходятся два ребра (стороны). По теореме Балинского по меньшей мере $d$ рёбер сходятся в каждой вершине $d$ -мерного выпуклого многогранника . Аналогично, в трёхмерном многограннике в точности две двумерные грани имеют общее ребро , в то время как в многогранниках более высоких размерностей общее ребро могут иметь три и более двумерных граней.

Альтернативная терминология

В теории выпуклых многогранников высоких размерностей (свыше 3) фасета (сторона $d$ -мерного многогранника) — это $(d-1)$ -мерная грань. Таким образом, рёбра (стороны) многоугольника являются также фасетами (для трёхмерных многогранников фасетами будут грани) .

См. также

Примечания

, с. 51, Definition 2.1.
Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. от 26 июля 2020 на Wayback Machine
Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. от 24 мая 2016 на Wayback Machine
, с. 81.
, с. 174–194.
, с. 431–434.
, с. 1.
, с. 404–413.

Литература

Günter M. Ziegler. Lectures on Polytopes. — Springer, 1995. — Т. 152. — ( ).
M. L. Balinski. On the graph structure of convex polyhedra in n -space // Pacific Journal of Mathematics. — 1961. — Vol. 11. — Вып. 2 . — doi : .
Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — ISBN 9780521098595 .
Marjorie Senechal. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. — Springer, 2013. — ISBN 9780387927145 .
Tomaž Pisanski, Milan Randić. Geometry at work / Catherine A. Gorini. — Washington, DC: Math. Assoc. America, 2000. — Т. 53. — (MAA Notes). . См., в частности, теорему 3, .
Raimund Seidel. Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86). — 1986. — doi : .