Граф Кэли
группы
B
S
(
1
,
2
)
{\displaystyle BS(1,2)}
.
Группа Баумслага — Солитера
—
группа
с двумя
образующими
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
и одним соотношением
a
b
m
a
−
1
=
b
n
.
{\displaystyle ab^{m}a^{-1}=b^{n}.}
Обычно, эта группа обычно обозначается
B
S
(
m
,
n
)
{\displaystyle BS(m,n)}
.
Примеры и свойства
B
S
(
1
,
1
)
{\displaystyle BS(1,1)}
это свободная
абелева группа
с двумя образующими,
B
S
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle BS(1,-1)}
фундаментальная группа
бутылки Клейна
B
S
(
1
,
n
)
{\displaystyle BS(1,n)}
при
n
>
1
{\displaystyle n>1}
изоморфна
подгруппе
группы
аффинных преобразований
вещественной прямой, порождённая отображениями
a
:
x
→
n
x
{\displaystyle a:x\to nx}
и
b
:
x
→
x
+
1
{\displaystyle b:x\to x+1}
.
Группа
B
S
(
2
,
3
)
{\displaystyle BS(2,3)}
(наряду с остальными группами
B
S
(
m
,
n
)
{\displaystyle BS(m,n)}
, для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером
нехопфовой группы
. А именно,
эпиморфизм
φ
:
a
↦
a
,
φ
:
b
↦
b
2
{\displaystyle \varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}}
не является
автоморфизмом
B
S
(
2
,
3
)
{\displaystyle BS(2,3)}
.
Группа
B
S
(
n
,
m
)
{\displaystyle BS(n,m)}
допускает
линейное представление
a
↦
(
1
1
0
1
)
{\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}}
and
b
↦
(
n
m
0
0
1
)
{\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}}
.
Это преставление не является
эффективным
, то есть различные элементы группу могут соответствовать одному линейному оператору.
Группа
B
S
(
m
,
n
)
{\displaystyle BS(m,n)}
остаточно конечна
тогда и только тогда когда
|
m
|
=
1
{\displaystyle |m|=1}
,
|
n
|
=
1
{\displaystyle |n|=1}
, или
|
m
|
=
|
n
|
{\displaystyle |m|=|n|}
Ссылки
D.J. Collins (2001), «
от 26 июня 2010 на
Wayback Machine
», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer,
ISBN 978-1556080104
.
and Donald Solitar,
от 29 ноября 2015 на
Wayback Machine
,
Bulletin of the American Mathematical Society
68
(1962), 199—201.
MR
: