Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность , морфизм Альбанезе которой является . Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе . Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с 0 в классификации Энриквеса — Кодайры .

Инварианты

Размерность Кодайры равна 0.

Ромб Ходжа:

Классификация

Любая гиперэллипическая поверхность является фактором ${\displaystyle (E{\times }F)/G}$ , где ${\displaystyle E=\mathbf {C} /\Lambda }$ , F — эллиптические кривые, а G — подгруппа группы F ( действующая на F переносами). Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей.

Порядок K	${\displaystyle \Lambda }$	G	Действие G на E
2	Любая	${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$	${\displaystyle e\rightarrow -e}$
2	Любая	${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$	${\displaystyle e\rightarrow -e,e\rightarrow e+c,-c=c}$
3	${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega }$	${\displaystyle \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} }$	${\displaystyle e\rightarrow \omega e}$
3	${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega }$	${\displaystyle \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} }$	${\displaystyle e\rightarrow \omega e,e\rightarrow e+c,{\omega }c=c}$
4	${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i}$	${\displaystyle \mathbf {Z} /\mathbf {Z} }$	${\displaystyle e\rightarrow ie}$
4	${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i}$	${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$	${\displaystyle e\rightarrow ie,e\rightarrow e+c,ic=c}$
6	${\displaystyle \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega }$	${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$	${\displaystyle e\rightarrow -{\omega }e}$

Здесь ${\displaystyle \omega }$ — первообразный кубический корень из 1, а i — примитивный корень 4-й степени из 1.

Квазигигиперэллиптические пространства

Квазигигиперэллиптическое пространство — это поверхность, которого численно эквивалентен нулю, отображает в эллиптическую кривую, а все его слои являются рациональными кривыми с каспами . Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя равно нулю, как и . Классификацию провели Бомбиери и Мамфорд , которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6 K = 0) и восемь случаев в характеристике 2 (в этом случае равно нулю 6 K или 4 K ). Любая квазиэллиптическая поверхность является фактором ${\displaystyle (E-F)/G}$ , где E — рациональная кривая с одним каспом, F является эллиптической кривой, а G является конечной группы F (действующей на F переносами).

Примечания

Литература