Канонические координаты — независимые параметры в гамильтоновом формализме классической механики . Обозначают их обычно как ${\displaystyle q_{i}}$ и ${\displaystyle p_{i}}$ .

Канонические координаты удовлетворяют фундаментальным соотношениям, выраженным через скобки Пуассона :

${\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=0\qquad \{p_{i},p_{j}\}=0\qquad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

Канонические координаты можно получить из обобщённых координат лагранжевой механики с помощью преобразований Лежандра или из другого множества канонических координат с помощью канонических преобразований . Если гамильтониан определён на кокасательном расслоении, то обобщённые координаты связаны с каноническими координатами с помощью уравнений Гамильтона — Якоби .

Хотя может существовать много вариантов выбора канонических координат физической системы, обычно выбираются параметры, которые удобны для описания конфигурации системы и которые упрощают решение уравнений Гамильтона.

Близкие понятия используются также в квантовой механике , см. и канонические коммутационные соотношения .

Обобщение

Поскольку гамильтонова механика по математической структуре представляет собой симплектическую геометрию , то канонические преобразования являются частным случаем контактных преобразований .

Канонические координаты определяются как специальное множество координат на кокасательном расслоении многообразия . Они обычно записываются как множество ${\displaystyle (q^{i},p_{j})}$ или ${\displaystyle (x^{i},p_{j})}$ , где буквой x или q обозначаются координаты на многообразии, а буквой p обозначается сопряжённый момент , который является ковариантным вектором в точке q многообразия.

Обычное определение канонических координат — это система координат на кокасательном расслоении, в которых записывается в виде

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

с точностью до прибавления полного дифференциала. Изменение координат, сохраняющее этот вид, является каноническим преобразованием . Это является специальным случаем ^* , который, по существу, является изменением координат на симплектическом многообразии .

Формальное исследование

Если задано действительное многообразие Q , то векторное поле X на Q (или, эквивалентно, сечение касательного расслоения TQ ) можно рассматривать как функцию, действующую на ^* , ввиду двойственности касательного и кокасательного пространств. То есть функция

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

такая, что

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

сохраняет все кокасательные вектора p в ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ . Здесь ${\displaystyle X_{q}}$ является вектором в ${\displaystyle T_{q}Q}$ , касательном пространстве многообразия Q в точке q . Функция ${\displaystyle P_{X}}$ называется функцией момента , соответствующей X .

В локальных координатах векторное поле X в точке q может быть записано как

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ ,

где ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ является системой координат в TQ. Сопряжённый момент тогда выражается как

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$ ,

где ${\displaystyle p_{i}}$ определяются как функции момента, соответствующие векторам ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ :

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

${\displaystyle q^{i}}$ вместе с ${\displaystyle p_{j}}$ образуют координатную систему на кокасательном расслоении ${\displaystyle T^{*}Q}$ . Эти координаты называются каноническими координатами .

Литература

• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko. Classical Mechanics. — 3rd. — San Francisco: Addison Wesley, 2002. — С. 347–349. — ISBN 0-201-65702-3 .
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5 .