Числа звёздчатого октаэдра
(
англ.
stella octangula numbers
) —
фигурные числа
, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри
звёздчатого октаэдра
. Эти числа равны: 0, 1,
14
,
51
,
124
, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (последовательность
в
OEIS
) и в общем случае задаются уравнением
.
Производящая функция
чисел звёздчатого октаэдра:
Формулы
Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию
октаэдра
и восьми
тетраэдров
меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как
, где
—
-ное
, а
—
-ное
тетраэдрическое число
. Поскольку
, а
, получим
.
Рекуррентные формулы
и
позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра:
,
.
Уравнение Люнггрена
Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся
квадратами
это
и
Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения
,
диофантова уравнения
.
Примечания
↑
Eric W. Weisstein.
(англ.)
.
MathWorld--A Wolfram Web Resource
. Дата обращения: 6 июля 2017.
28 июня 2017 года.
Eric W. Weisstein.
(англ.)
.
MathWorld--A Wolfram Web Resource
. Дата обращения: 6 июля 2017.
30 мая 2019 года.
Eric W. Weisstein.
(англ.)
.
MathWorld--A Wolfram Web Resource
. Дата обращения: 6 июля 2017.
10 июля 2017 года.
↑
Elena Deza, Michel Marie Deza.
Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 119-120. — 456 p. —
ISBN 981-4355-48-8
.
W. Ljunggren.
Zur Theorie der Gleichung x^2 + 1 = Dy^4 // Avh. Norsk. Vid. Akad. Oslo. — 1942. — С. 1-27.
Richard K. Guy.
Unsolved Problems in Number Theory / K.A. Bencsath, P.R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 234-235. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). —
ISBN 978-1-4419-1928-1
.