Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия , который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.

Фундаментальный класс многообразия ${\displaystyle M}$ обычно обозначается ${\displaystyle [M]}$ .

Определение

Замкнутое ориентируемое многообразие

Если многообразие ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ является связным ориентируемым и замкнутым , то ${\displaystyle n}$ -ая группа гомологий является бесконечной циклической : ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ . При этом, ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма ${\displaystyle \mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )}$ . Порождающий элемент называется фундаментальным классом .

Если ориентируемое многообразие ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{i}M_{i}}$ является несвязным, то в качестве фундаментального класса формально можно сопоставить сумму ${\displaystyle \sum \limits _{i}[M_{i}]}$ фундаментальных классов всех его связных компонент ${\displaystyle M_{i}}$ . Сопоставление формально, поскольку эта сумма не является порождающим элементом для группы ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z} }$ .

Неориентируемое многообразие

Для неориентируемого многообразия группа ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0}$ , если при этом ${\displaystyle M}$ является связным и замкнутым, то ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$ . Порождающий элемент группы ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия ${\displaystyle M}$ .

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни .

Многообразие с краем

Если ${\displaystyle M}$ является компактным ориентируемым многообразием с краем ${\displaystyle \partial M}$ , то ${\displaystyle n}$ -я относительная группа гомологий является бесконечной циклической : ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z} }$ . Порождающий элемент группы ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)}$ называется фундаментальным классом многообразия с краем.

Двойственность Пуанкаре

Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре

${\displaystyle D:H^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}$ (для ориентируемого)

и

${\displaystyle D:H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ (для неориентируемого)

многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:

${\displaystyle D(\alpha )=[M]\frown \alpha }$ ,

где ${\displaystyle \frown }$ обозначает ${\displaystyle \frown }$ -умножение гомологических и когомологических классов.

Степень отображения

Пусть ${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle N}$ — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности. Если ${\displaystyle f:M\to N}$ — непрерывное отображение , то

${\displaystyle f_{\ast }[M]=k[N]}$ ,

где ${\displaystyle f_{\ast }}$ — индуцированный ${\displaystyle f}$ гомоморфизм (групповых колец), а ${\displaystyle k=\deg(f)}$ — степень отображения ${\displaystyle f}$ .

Литература

• А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс . Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
• А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.