Открытая книга — разложение замкнутого 3-мерного многообразия в объединение поверхностей (страниц книги) с общим краем краем (корешком книги).

Определение

Открытая книга 3-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ — это пара ${\displaystyle (B,\pi )}$ , где

• ${\displaystyle B}$ — ориентированное зацепление в ${\displaystyle M}$ , называемое корешком книги;
• ${\displaystyle \pi \colon M\backslash B\to \mathbb {S} ^{1}}$ — расслоение дополнения корешка, что для каждого ${\displaystyle \theta \in \mathbb {S} ^{1}}$ , ${\displaystyle \pi ^{-1}(\theta )}$ является внутренностью компактной поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ в ${\displaystyle M}$ с границей ${\displaystyle B}$ . Поверхность ${\displaystyle \Sigma }$ называется страницей книги.

Свойства

• Всякое связное замкнутое трёхмерное многообразие может быть представлено как открытая книга со страницами, гомеоморфными (если многообразие ориентировано) диску с дырами или (если многообразие неориентировано) ленте Мёбиуса с дырами.

• Теорема Жиру. Пусть М — компактное ориентированное 3-мерное многообразие. Тогда существует биекция между множеством ориентированных контактных структур на М с точностью до изотопии и множества открытых книг на М с точностью до положительной стабилизации .
  • Положительная стабилизация включает изменение страницы путем добавления 2-мерной 1-ручки и изменения монодромии путем добавления положительного скручивания Дена по кривой, которая проходит над ручкой ровно один раз.

Примечания

Ссылки

• Etnyre, John B. Lectures on open book decompositions and contact structures , arXiv :