Interested Article - Единичный квадрат

Единичный квадрат на вещественной плоскости .

Единичный квадрат квадрат , стороной которого является единичный отрезок . Единичный квадрат является единицей измерения площади . Иногда требуют, чтобы в прямоугольных координатах левый нижний угол единичного квадрата находился бы в начале координат и его стороны были бы параллельны осям координат. В этом случае его вершины имеют координаты , , и .

Определения

Часто под единичным квадратом подразумевается любой квадрат со стороной 1.

Если задана прямоугольная система координат , то этот термин часто используют в более узком смысле: единичный квадрат — это множество точек, обе координаты которых ( x и y ) лежат между 0 и 1 :

.

Иными словами, единичный квадрат — это прямое произведение I × I , где I единичный отрезок .

В комплексной плоскости под единичным квадратом подразумевается квадрат с вершинами 0 , 1 , 1 + i и i .

Единица площади

Единичный квадрат является единицей измерения площади фигуры. Измерить площадь фигуры — значит найти отношение площади фигуры к площади единичного квадрата, то есть сказать, сколько раз единичный квадрат может быть уложен в данной фигуре . Есть все основания предполагать, что так определяли площадь математики Древнего Вавилона . В « Началах » Евклида не было единицы измерения длины, а значит, не было понятия единичный квадрат. Евклид не измерял площади числами, вместо этого он рассматривал отношения площадей друг к другу .

Свойства

  • Площадь единичного квадрата равна 1, периметр — 4, диагональ .
  • Единичный квадрат является «кругом» диаметра 1 в смысле равномерной нормы ( ), то есть множество точек, которые расположены на расстоянии 1/2 в смысле равномерной нормы от центра с координатами (1/2, 1/2), является единичным квадратом .
  • Кантор доказал, что существует взаимнооднозначное соответствие между единичным отрезком и единичным квадратом. Этот факт настолько противоречит интуиции, что Кантор в 1877 году писал Дедекинду : «Я вижу это, но не верю» .
  • Ещё более удивительный факт был открыт Пеано в 1890 году: оказывается существует непрерывное отображение отрезка на квадрат. Примером такого отображения является кривая Пеано , первый пример заполняющей пространство кривой. Кривая Пеано задаёт непрерывное отображение единичного отрезка на квадрат, так, что для каждой точки квадрата найдется соответствующая точка отрезка .
  • Тем не менее, не существует взаимнооднозначного непрерывного отображения отрезка в квадрат. Кривая Пеано содержит кратные точки, то есть она проходит через некоторые точки квадрата более одного раза. Таким образом, кривая Пеано не задаёт взаимнооднозначного соответствия. В действительности легко доказать, что отрезок не гомеоморфен квадрату, значит, избежать кратных точек невозможно .

Открытая проблема

Неизвестно (на 2011 год), существует ли точка на плоскости такая, что расстояние до любой вершины единичного квадрата является рациональным числом . Однако известно, что такой точки не существует на границе квадрата .

См. также

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  2. Валерий Гусев, Александр Мордкович. . — Litres, 2016-06-10. — С. 436. — 674 с. — ISBN 9785457404793 .
  3. Peter Strom Rudman. . — Prometheus Books, 2007-01-01. — С. 108. — 316 с. — ISBN 9781615921768 .
  4. Saul Stahl. . — Courier Corporation, 2012-05-23. — С. 99-100. — 481 с. — ISBN 9780486134987 .
  5. Athanasios C. Antoulas. . — SIAM, 2009-06-25. — С. 29. — 489 с. — ISBN 9780898716580 .
  6. Сергей Деменок. . — Litres, 2016-06-08. — С. 156. — 298 с. — ISBN 9785040137091 .
  7. Michael J. Bradley. . — Infobase Publishing, 2006. — С. 104—105. — 177 с. — ISBN 9780791097212 .
  8. Сергей Сизый. . — Litres, 2016-04-14. — С. 34. — 128 с. — ISBN 9785040047086 . 7 апреля 2022 года.
  9. Н. К. Верещагин , А. Шень. . — Litres, 2015-11-13. — С. 19. — 113 с. — ISBN 9785457918795 . 7 апреля 2022 года.
  10. Guy, Richard K. (1991), Unsolved Problems in Number Theory, Vol. 1 (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 181—185 .
  11. Barbara, Roy (March 2011), , , 95 (532): 59—61 . Дата обращения: 30 октября 2016. Архивировано 24 декабря 2015 года. .

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Единичный квадрат