Единичный квадрат — квадрат , стороной которого является единичный отрезок . Единичный квадрат является единицей измерения площади . Иногда требуют, чтобы в прямоугольных координатах левый нижний угол единичного квадрата находился бы в начале координат и его стороны были бы параллельны осям координат. В этом случае его вершины имеют координаты ${\displaystyle (0,0)}$ , ${\displaystyle (1,0)}$ , ${\displaystyle (1,1)}$ и ${\displaystyle (0,1)}$ .

Определения

Часто под единичным квадратом подразумевается любой квадрат со стороной 1.

Если задана прямоугольная система координат , то этот термин часто используют в более узком смысле: единичный квадрат — это множество точек, обе координаты которых ( x и y ) лежат между 0 и 1 :

${\displaystyle {\begin{cases}0\leq x\leq 1\\0\leq y\leq 1\end{cases}}}$ .

Иными словами, единичный квадрат — это прямое произведение I × I , где I — единичный отрезок ${\displaystyle [0;1]}$ .

В комплексной плоскости под единичным квадратом подразумевается квадрат с вершинами 0 , 1 , 1 + i и i .

Единица площади

Единичный квадрат является единицей измерения площади фигуры. Измерить площадь фигуры — значит найти отношение площади фигуры к площади единичного квадрата, то есть сказать, сколько раз единичный квадрат может быть уложен в данной фигуре . Есть все основания предполагать, что так определяли площадь математики Древнего Вавилона . В « Началах » Евклида не было единицы измерения длины, а значит, не было понятия единичный квадрат. Евклид не измерял площади числами, вместо этого он рассматривал отношения площадей друг к другу .

Свойства

• Площадь единичного квадрата равна 1, периметр — 4, диагональ — ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .
• Единичный квадрат является «кругом» диаметра 1 в смысле равномерной нормы ( ${\displaystyle L^{\infty }}$ ), то есть множество точек, которые расположены на расстоянии 1/2 в смысле равномерной нормы от центра с координатами (1/2, 1/2), является единичным квадратом .
• Кантор доказал, что существует взаимнооднозначное соответствие между единичным отрезком и единичным квадратом. Этот факт настолько противоречит интуиции, что Кантор в 1877 году писал Дедекинду : «Я вижу это, но не верю» .
• Ещё более удивительный факт был открыт Пеано в 1890 году: оказывается существует непрерывное отображение отрезка на квадрат. Примером такого отображения является кривая Пеано , первый пример заполняющей пространство кривой. Кривая Пеано задаёт непрерывное отображение единичного отрезка на квадрат, так, что для каждой точки квадрата найдется соответствующая точка отрезка .
• Тем не менее, не существует взаимнооднозначного непрерывного отображения отрезка в квадрат. Кривая Пеано содержит кратные точки, то есть она проходит через некоторые точки квадрата более одного раза. Таким образом, кривая Пеано не задаёт взаимнооднозначного соответствия. В действительности легко доказать, что отрезок не гомеоморфен квадрату, значит, избежать кратных точек невозможно .

Открытая проблема

Неизвестно (на 2011 год), существует ли точка на плоскости такая, что расстояние до любой вершины единичного квадрата является рациональным числом . Однако известно, что такой точки не существует на границе квадрата .

См. также

• Единичная сфера
• Единичный круг
• Единичный куб

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .