Описанное коническое сечение или описанная коника для треугольника — это коническое сечение , проходящее через три вершины треугольника , а вписанное коническое сечение или вписанная коника — это в треугольник коническое сечение, т.е. касающееся сторон треугольника (возможно, не самих сторон, а их )

Пусть даны три различные точки A,B,C , не лежащие на одной прямой, и пусть ΔABC — треугольник, имеющий эти точки в качестве вершин. Обычно считается, что буква, например A , обозначает не только вершину A , но и прилежащий к ней угол BAC . Пусть a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | являются длинами сторон треугольника Δ ABC .

В трилинейных координатах описанное коническое сечение — это геометрическое место точек X = x : y : z , удовлетворяющих уравнению

uyz + vzx + wxy = 0,

для некоторой точки u : v : w . Изогональное сопряжение любой точки из X на сечении, отличной от A,B,C , является точкой на прямой

ux + vy + wz = 0.

Эта прямая имеет с описанной вокруг треугольника ΔABC окружностью 0,1 или 2 общие точки в зависимости от того, является коническое сечение эллипсом, параболой или гиперболой.

Вписанное коническое сечение касается трёх прямых, проходящих через вершины треугольника ΔABC (продолжения сторон) и задаётся уравнением

u ² x ² + v ² y ² + w ² z ² − 2 vwyz − 2 wuzx − 2 uvxy = 0.

Центры и касательные прямые

Описанная коника

Центр описанного конического сечения — это точка

u (− au + bv + cw ) : v ( au − bv + cw ) : w ( au + bv − cw ).

Прямые, касательные коническому сечению в точках A,B и C , задаются уравнениями

wv + vz = 0,

uz + wx = 0,

vx + uy = 0.

Вписанная коника

Центр вписанного конического сечения — это точка

cy + bz : az + cx : bx + ay .

Касательные к этой конике — это стороны треугольника ΔABC , и они задаются уравнениями x = 0, y = 0, z = 0.

Другие свойства

Описанные конические сечения

• Любое описанное коническое сечение, не являющееся окружностью, пересекает описанную вокруг ΔABC окружность в точке, отличной от A, B и C, которую часто называют четвёртой точкой пересечения , и она имеет трилинейные координаты

( cx − az )( ay − bx ) : ( ay − bx )( bz − cy ) : ( bz − cy )( cx − az )

• Если точка P = p : q : r лежит на описанном коническом сечении, то прямая, касательная сечению в точке P , задаётся уравнением

( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.

• Описанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда

u ² a ² + v ² b ² + w ² c ² − 2 vwbc − 2 wuca − 2 uvab = 0,

и гиперболой тогда и только тогда, когда

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• Из всех треугольников, вписанных в заданный эллипс, центроид треугольника с наибольшей площадью совпадает с центром эллипса . Эллипс, проходящий через три вершины треугольника, с центром, совпадающим с центроидом треугольника, называется описанным эллипсом Штейнера .

Вписанные конические сечения

• Вписанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда

ubc + vca + wab = 0,

и в этом случае коническое сечение касается одной стороны треугольника извне и касается продолжения двух других сторон.

• Предположим, что p ₁ : q ₁ : r ₁ и p ₂ : q ₂ : r ₂ различные точки, и пусть

X = ( p ₁ + p ₂ t ) : ( q ₁ + q ₂ t ) : ( r ₁ + r ₂ t ).

Когда параметр t пробегает все вещественные числа , геометрическое место точек X является прямой. Определим

X ² = ( p ₁ + p ₂ t ) ² : ( q ₁ + q ₂ t ) ² : ( r ₁ + r ₂ t ) ² .

Геометрическое место точек X ² является вписанным коническим сечением, обязательно эллипсом , которое задаётся уравнением

L ⁴ x ² + M ⁴ y ² + N ⁴ z ² − 2 M ² N ² yz − 2 N ² L ² zx − 2 L ² M ² xy = 0,

где

L = q ₁ r ₂ − r ₁ q ₂ ,

M = r ₁ p ₂ − p ₁ r ₂ ,

N = p ₁ q ₂ − q ₁ p ₂ .

• Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса тогда и только тогда, когда точка лежит внутри треугольника, вершинами которого служат середины исходного треугольника . Для точки внутри серединного треугольника эллипс с центром в этой точке единственен .
• Вписанный эллипс с наибольшей площадью является вписанным эллипсом Штейнера , который называется также серединным вписанным эллипсом. Центр этого эллипса совпадает с центроидом треугольника . В общем случае отношение площади вписанного эллипса к площади треугольника в терминах барицентрических координат ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ центра эллипса равно .

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

и это отношение максимизируется при совпадении с барицентрическими координатами центроида треугольника ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =1/3.}$

• Прямые, соединяющие точки касания любого вписанного в треугольник эллипса с противолежащей вершиной, пересекаются в одной точке .

Расширение на четырёхугольники

Все центры вписанных в четырёхугольник эллипсов лежат на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника .

Примеры

• Описанное коническое сечение

  

  • Описанная окружность , единственная окружность , проходящая через три вершины треугольника
  • Описанный эллипс Штейнера , единственный эллипс, проходящий через все три вершины треугольника, с центром, совпадающим с центроидом треугольника

    

  • Гипербола Киперта , единственная коника, которая проходит через три вершины треугольника, его центроид и его ортоцентр
  • Гипербола Ержабека, гипербола с центром, лежащим на окружности девяти точек , проходящая через три вершины треугольника, центр его описанной окружности , ортоцентр и другие замечательные центры
  • Гипербола Фейербаха , проходящая через ортоцентр треугольника, точку Нагеля и другие замечательные точки, имеет центр на окружности девяти точек.
• Вписанное коническое сечение

  

  • Вписанная окружность , единственная окружность, касающаяся изнутри стороны треугольника
  • Вписанный эллипс Штейнера , единственный эллипс, касающийся трёх сторон треугольника в серединах сторон
  • Эллипс Мандара , единственный эллипс, касающийся сторон треугольника в точках касания внешнеописанных окружностей
  • Парабола Киперта
  • Парабола Иффа

Примечания

Литература

Ссылки

• от 13 апреля 2017 на Wayback Machine at MathWorld
• от 28 августа 2017 на Wayback Machine at MathWorld