В математике путь в топологическом пространстве X — это непрерывное отображение f из единичного отрезка I = [0,1] в X

f : I → X .

Начальной точкой пути является f (0), а конечной точкой — f (1). Часто говорят о «пути из x в y », где x и y — начальная и конечная точки пути. Заметим, что путь — это не просто подмножество X , которое «выглядит как» кривая , он также включает параметризацию . Например, отображение f ( x ) = x и g ( x ) = x ² представляют два различных пути от 0 до 1 на вещественной прямой.

Петля в пространствe X с базовой точкой x ∈ X — это путь из x в x . Петля может также быть определена как отображение f : I → X с f (0) = f (1) или как непрерывное отображение единичной окружности S ¹ в X

f : S ¹ → X .

Последнее вытекает из того, что S ¹ можно считать факторпространством I при отождествлении 0 с 1. Множество всех петель в X образует пространство, называемое пространством петель пространства X .

Топологическое пространство, в котором существует путь, соединяющий любые две точки, называется линейно связанным . Любое пространство можно разбить на множество линейно связанных компонент . Множество линейно связанных компонент пространства X часто обозначается π ₀ ( X );.

Можно также определить пути и петли в , которые являются важными в теории гомотопий . Если X является топологическим пространством с выделенной точкой x ₀ , то путь в X — это путь, начальной точкой которого является x ₀ . Подобным образом петля в X — это петля в точке x ₀ .

Гомотопия путей

Пути и петли являются центральными объектами изучения ветви алгебраической топологии , называемой теории гомотопий . Гомотопия путей делает точным понятие непрерывной деформации пути при сохранении концов пути.

В частности, гомотопия путей в X — это семейство путей f _t : I → X индексированных по I , таких что

• f _t (0) = x ₀ и f _t (1) = x ₁ фиксированы.
• отображение F : I × I → X , заданное F ( s , t ) = f _t ( s ) является непрерывным.

Говорят, что пути f ₀ и f ₁ гомотопны (или, точнее, линейно-гомотопны ), если они связаны гомотопией. Можно аналогичным образом определить гомотопию петель, сохраняющую базовую точку.

Отношение гомотопии является отношением эквивалентности путей в топологическом пространстве. Класс эквивалентности пути f при этом отношении называется классом гомотопии f , и часто обозначается [ f ].

Композиция путей

Можно образовать композицию путей в топологическом пространстве очевидным образом. Пусть f — путь из x в y , а g — путь из y в z . Путь fg определяется как путь, получаемый сначала проходом f , а затем g :

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

Ясно, что композиция путей определена только в случае, когда конечная точка f совпадает с начальной точкой g . Если рассматривать петли в точке x ₀ , то композиция путей является бинарной операцией .

Композиция путей, если она определена, не является ассоциативной операцией ввиду различия в параметризации. Однако она является ассоциативной с точностю до гомотопии. То есть [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Композиция путей определяет структуру группы на множестве гомотопных классов петель в X с базовой точкой x ₀ . Результирующая группа называется фундаментальной группой X с отмеченной точкой x ₀ и обычно обозначается π ₁ ( X , x ₀ ).

Можно определить путь в X как непрерывное отображение интервала [0, a ] в X для любого вещественного a ≥ 0. Путь f этого вида имеет длину | f |, определяемую как a . Композиция путей тогда определяется, как и прежде, со следующим изменением:

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

В то время как в предыдущем определении f , g и fg имеют длину 1, данное определение даёт | fg | = | f | + | g |. Что в прежнем определении приводило к нарушению ассоциативности, так то, что хотя ( fg ) h и f ( gh ) имели одну длину, а именно 1, средняя точка ( fg ) h оказывалась между g и h , в то время как средняя точка f ( gh ) оказывалась между f и g . В модифицированном определении ( fg ) h и f ( gh ) имеют одинаковую длину, а именно | f |+| g |+| h |, и те же самые средние точки, находящиеся в (| f |+| g |+| h |)/2, как для ( fg ) h , так и для f ( gh ). И даже они имеет одну и ту же параметризацию.

Фундаментальный группоид

Любое топологическое пространство X даёт начало категории , объектами которой являются точки X , а ^* являются классы гомотопии путей. Поскольку любой морфизм в этой категории является изоморфизмом , эта категория является группоидом , называемым фундаментальным группоидом X . Петли в этой категории являются эндоморфизмами (все они на самом деле являются автоморфизмами ). Группа автоморфизмов точки x ₀ в X — это просто фундаментальная группа в X . Можно определить фундаментальный группоид на любом подмножестве A в X , используя классы гомотопий путей, соединяющих точки в A .

Примечания

Литература

• Ronald Brown. Topology and groupoids. — Deganwy, United Kingdom, 2006. — ISBN 1-4196-2722-8 .

• Peter May. A concise course in algebraic topology. — Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. — ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

• James R. Munkres. Topology. — 2ed. — N.J.: Prentice Hall, 2000. — ISBN 0-13-181629-2 .
• John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. — Princeton University Press, 1978. — Т. 90. — (Annals of mathematics studies). — ISBN 9780691082066 .
• О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. — М. : МЦНМО, 2010. — ISBN 978-5-94057-587-0 .