Два плосконосых архимедова тела

Плосконосый куб или плосконосый кубооктаэдр

Плосконосый додекаэдр или плосконосый икосододекаэдр

Операция snub или отсечение вершин — это операция, применяемая к многогранникам. Термин появился из названий, данных Кеплером двум архимедовым телам — плосконосый куб (cubus simus) и плосконосый додекаэдр (dodecaedron simum) . В общем случае плосконосые формы имеют хиральную симметрию двух видов, с ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Согласно названиям Кеплера, отсечение вершин можно рассматривать как растяжение правильного многогранника, когда исходные грани отодвигаются от центра и поворачиваются относительно центров, вместо исходных вершин добавляются многоугольники с центрами в этих вершинах, а пары треугольников заполняют пространство между исходными рёбрами.

Терминологию обобщил Коксетер со слегка другим определением для более широкого множества однородных многогранников .

Операция «snub» Конвея

Джон Конвей исследовал обобщённые операции над многогранниками, определяя то, что называется теперь нотацией Конвея для многогранников , которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей назвал операцию Коксетера semi-snub (полу-snub) .

В этой нотации snub определяется как композиция двойственного и gyro операторов, ${\displaystyle s=dg}$ , и это эквивалентно последовательности операторов , усечения и ambo . Нотация Конвея избегает операции альтернирования, поскольку та применима только к многогранниками с гранями, имеющими чётное число сторон.

Плосконосые правильные фигуры

	Многогранники			Евклидовы мозаики		Гиперболические мозаики
Нотация Конвея	sT	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ 7
Плосконосый многогранник	Тетраэдр	Куб или Октаэдр	Икосаэдр или Додекаэдр	Квадратная мозаика	Шестиугольная мозаика или Треугольная мозаика	Семиугольная мозаика или
Рисунок

В 4-мерных пространствах Конвей считает, что должен называться полуплосконосым 24-ячейником , поскольку он не представляет альтернированный , как его аналог в 3-мерном пространстве. Вместо этого он является альтернированным .

Операции «snub» Коксетера, правильная и квазиправильная

Плосконосый куб, полученный из куба или кубооктаэдра

Исходное тело	Полноусечённый многогранник r	Усечённый многогранник t	h
Cube	Кубооктаэдр Полноусечённый куб	Усечённый кубооктаэдр Скошено-усечённый куб	Плосконосый кубооктаэдр Плосконосый полноусечённый куб
C	CO rC	tCO trC или trO	htCO = sCO htrC = srC
{4,3}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ или r{4,3}	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ или tr{4,3}	${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
	или	или	или

Терминология «snub» (отсечения вершин) Коксетера несколько отличается и означает усечение , по которому плосконосый куб получается операцией snub (отсечение вершин) из кубооктаэдра , а плосконосый додекаэдр — из икосододекаэдра . Это определение используется в названиях двух тел Джонсона — плосконосый двуклиноид и плосконосая квадратная антипризма , а также в названиях многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный , или s{3,4,3}.

Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли, ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ и диаграммой Коксетера имеет усечение , определённое как ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ с диаграммой , и плосконосую форму, определённую как усечение ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ с диаграммой Коксетера . Это построение требует, чтобы q было чётным.

Квазиправильный многогранник ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ или r { p , q }, с диаграммой Коксетера или имеет квазиправильное усечение , определённое как ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ или tr { p , q } (с диаграммой Коксетера или ) и квазиправильную плосконосую форму, определённую как усечение полного усечения ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ или htr { p , q } = sr { p , q } (с диаграммой Коксетера или ).

Например, плосконосый куб Кеплера получается из квазирегулярного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ (и диаграммой Коксетера ) и более точно называется плосконосый кубооктаэдр , который выражается символом Шлефли ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ (с диаграммой Коксетера ). Плосконосый кубооктаэдр является альтернацией усечённого кубооктаэдра ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ( ).

Правильные многогранники с чётным порядком вершин также могут быть приведены к плосконосой форме как альтернированное усечение, подобно как плосконосый октаэдр ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$ ( ) (и плосконосый тетратетаэдр ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ , ) представляет псевдоикосаэдр , правильный икосаэдр с пиритоэдральной симметрией . Плосконосый октаэдр является альтернированной формой усечённого октаэдра , ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$ ( ), или в форме тетраэдральной симметрии: ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ и .

	Усечённый t	Альтернированный h
Октаэдр O	Усечённый октаэдр tO	Плосконосый октаэдр htO или sO
{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}

Операция отсечения вершин (носов) Коксетера позволяет также определить n- антипризму как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ или ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ на основе n-призм ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ или ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ , а ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$ является правильным осоэдром , вырожденным многогранником, который является допустимой мозаикой на сфере с двуугольными или луноподобными гранями.

Плосконосые осоэдры , {2,2p}

Рисунок
Диаграммы Коксетера							... ...
Символ Шлефли	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}		...
	sr{2,2} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	sr{2,3} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	sr{2,4} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	sr{2,5} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$	sr{2,6} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}}$	sr{2,7} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}}$	sr{2,8}... ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}}$ ...	sr{2,∞} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}}$
Нотация Конвея	A2 = T	A3 = O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

Тот же процесс применим для плосконосых мозаик:

Треугольная мозаика Δ	Усечённая треугольная мозаика tΔ	Плосконосая треугольная мозаика htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

Примеры

Плосконосые фигуры на {p,4}

Пространство	Сферическое		Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетера								...
Символ Шлефли	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}					...

Квазиправильные плосконосые фигуры, основанные на r{p,3}

Пространство	Сферическая				Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетере								...
Символ Шлефли	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}			...
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix}}}$
Нотация Конвея	A3	sT	sC или sO	sD или sI	sΗ или sΔ

Квазирегулярные плосконосые формы, основанные на r{p,4}

Пространство	Сферическое		Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетера								...
Символ Шлефли	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}					...
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix}}}$
Нотация Конвея	A4	sC или sO	sQ

Неоднородные плосконосые многогранники

У неоднородных многогранников, для которых в вершины сходятся чётное число рёбер, могут быть отсечены вершины, включая некоторые бесконечные наборы, например:

Плосконосые бипирамиды sdt{2,p}

Плосконосая квадратная бипирамида
Плосконосая шестиугольная бипирамида

Плосконосые полноусечённые бипирамиды srdt{2,p}

Плосконосые антипризмы {2,2p}

Рисунок				...
Символ Шлефли	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
	ssr{2,2} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,3} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,4} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,5}... ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$

Однородные плосконосые звёздчатые многогранники Коксетера

Плосконосые звёздчатые многогранники строятся по треугольнику Шварца (p q r) с рациональными зеркалами, в котором все зеркала активны и альтернированы.

Плосконосые однородные звёздчатые многогранники

s{3/2,3/2}
				s{3/2,5/3}

Плосконосые многогранники и соты Коксетера в пространствах высокой размерности

В общем случае правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли , ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ и диаграммой Коксетера имеет плосконосую форму с расширенным символом Шлефли ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ и диаграммой .

Полноусечённый многогранник ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r} , and has snub symbol ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ = sr{p,q,r} , and .

Примеры

Существует лишь один однородный плосконосый многогранник в 4-мерном пространстве, . Правильный двадцатичетырёхъячейник имеет символ Шлефли , ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ и диаграмму Коксетера , а плосконосый 24-ячейник представляется символом ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ и диаграммой диаграмма Коксетера . Он имеет также построение с более низкой симметрией с индексом 6 как ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$ или s{3 ^1,1,1 } и , и симметрией с индексом 3 как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$ или sr{3,3,4}, или .

Связанные модно рассматривать как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$ или s{3,4,3,3}, , тело с более низкой симметрией как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$ или sr{3,3,4,3} ( или ), и с наименьшей симметрией как ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$ или s{3 ^1,1,1,1 } ( ).

Евклидовыми сотами являются , s{2,6,3} ( ) или sr{2,3,6} ( ) или sr{2,3 ^[3] } ( ).

Другими евклидовыми (равнорёберными) сотами являются s{2,4,4} (and ) или sr{2,4 ^1,1 } ( ):

Единственными однородными плосконосыми гиперболическими сотами являются плосконосые шестиугольные мозаичные соты , s{3,6,3} и , которые можно построить также как , h{6,3,3}, . It is also constructed as s{3 ^[3,3] } and .

Другими гиперболическими (равнорёберными) сотами являются , s{3,4,4} и .

См. также

• Плосконосый многогранник

Операции над многогранниками

Основа	Усечение	Полное усечение		Двойствен- ность	Растяжение
t 0 {p, q} {p, q}	t{p, q}	t 1 {p,q} r{p, q}	2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	rr{p, q}	tr{p, q}	h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно : Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.