Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины ${\displaystyle \ell }$ не может быть меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi /\ell }$ .

Теорема доказана Вернером Фенхелем .

О доказательстве

Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ лежит в открытой полусфере. Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона , но известны и более элементарные доказательства.

Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере. Значит её длина не меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ , длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.

Вариации и обобщения

• Лемма Решетняка о хорде. Если регулярная гладкая ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ подходит к своей хорде ${\displaystyle [\gamma (a),\gamma (b)]}$ под углами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ , то поворот кривой ${\displaystyle \gamma }$ хотя бы ${\displaystyle \alpha +\beta }$ .
  • Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.

• Теорема Фари — Милнора

• Теорема о повороте плоской кривой

Примечания

Литература

• Топоногов, В. А. . — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5 .