Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений .

Свободное произведение ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ обычно обозначается ${\displaystyle G_{1}*G_{2}}$ .

Определения

• Если группы заданы через порождающие и соотношения ${\displaystyle G_{1}=\langle S_{1}|R_{1}\rangle }$ , ${\displaystyle G_{2}=\langle S_{2}|R_{2}\rangle }$ то

  ${\displaystyle G_{1}*G_{2}=\langle S_{1}\cup S_{2}|R_{1}\cup R_{2}\rangle }$

  • Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.

• Свободное произведение ${\displaystyle G_{1}*G_{2}}$ можно также определить как расслоенное копроизведение ${\displaystyle G_{1}\amalg _{\{e\}}G_{2}}$ для тривиальной группы ${\displaystyle \{e\}}$ в категории групп.

Примеры

• Свободное произведение ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$ изоморфно бесконечной группе диэдра ${\displaystyle D_{\infty }}$ .
• Свободное произведение ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}}$ изоморфно проективной группе ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z})}$ .
• Свободное произведение ${\displaystyle n}$ копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — свободная группа с ${\displaystyle n}$ образующими.
• Теорема Зейферта — ван Кампена в частности утверждает, что если ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, и ${\displaystyle V,U\subset X}$ — два связных открытых множества таких, что пересечение ${\displaystyle W=V\cap U}$ односвязно, и ${\displaystyle X=V\cup U}$ , то фундаментальная группа ${\displaystyle X}$ есть свободное произведение фундаментальных групп ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle U}$ ; то есть

  ${\displaystyle \pi _{1}X=\pi _{1}V*\pi _{1}U.}$

Литература

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.